Se ∫ - 2 2 3 f ( x )   d x = 12 ,   ∫ - 2 5 f ( x )   d x = 6 , ∫ - 2 5 g ( x )   d x = 2 , determine ∫ 2 5 f ( x )   d x

Passo 1

Perceba que para a f, não temos o valor da integral que desejamos. Mas sabemos que podemos dividir essa integral em algumas outras,

∫ 2 5 f ( x )   d x = ∫ - 2 5 f x   d x - ∫ - 2 2 f x   d x

Passo 2

Mas, na primeira integral falta o 3 multiplicando na integral que devemos descobrir o valor, para pode bater direitinho como a que foi dada. Então, vamos multiplicar a integral pelo o que falta e depois, dividir, porque ai não estamos alterando em nada a nossa integral. Lembrando de deixar a divisão afastadinha, senão os números vão se cancelar e nada feito.

Daí,

∫ - 2 2 f ( x )   d x =   1 3 ∫ - 2 5 3 f x   d x

Passo 3

Substituindo na integral que estamos calculando,

∫ 2 5 f ( x )   d x =   1 3 ∫ - 2 5 3 f x   d x - ∫ - 2 2 f x   d x

Substituindo a informação dada,

∫ 2 5 f ( x )   d x =   1 3 ∫ - 2 5 3 f x   d x - ∫ - 2 2 f x   d x = 6 - 4 = 2  

Resposta

∫ 2 5 f ( x )   d x = 2

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