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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.13 - Ex. 6

Determine a equação da reta tangente à elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , no ponto x 0 , y 0 , y 0 ≠ 0 .

Passo 1

Para achar a reta tangente, podemos usar a fórmula:

y - y 0 = f ' x 0 x - x 0

Onde y 0 = f x 0 :

Para f ' x 0 , devemos primeiramente derivar implicitamente a função em relação a x , para isso, devemos lembrar que a derivada de y é f ' x , assim:

x 2 a 2 ' + y 2 b 2 ' = 1 '

2 a 2 x + 2 b 2 ⋅ y ⋅ y ' = 0

2 a 2 x + 2 b 2 y f ' x = 0

2 b 2 y f ' x = - 2 a 2 x

1 b 2 y f ' x = - 1 a 2 x

f ' x = - x b 2 y a 2

Então:

f ' x 0 = - x 0 b 2 y 0 a 2

Passo 2

Assim, retomando a fórmula y - y 0 = f ' x 0 x - x 0 , temos:

y - y 0 = - x 0 b 2 y 0 a 2 x - x 0

y - y 0 y 0 a 2 = - x - x 0 x 0 b 2

y ⋅ y 0 a 2 - y 0 2 a 2 = - x ⋅ x 0 b 2 + x 0 2 b 2

y ⋅ y 0 a 2 + x ⋅ x 0 b 2 = x 0 2 b 2 + y 0 2 a 2

Se sabemos que x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2 = 1 , pois, o ponto x 0 , y 0 pertence à função, então x 0 2 b 2 + y 0 2 a 2 a 2 b 2 = 1 e portando x 0 2 b 2 + y 0 2 a 2 = a 2 b 2 .

Assim, se

y ⋅ y 0 a 2 + x ⋅ x 0 b 2 = x 0 2 b 2 + y 0 2 a 2

temos

y ⋅ y 0 a 2 + x ⋅ x 0 b 2 = a 2 b 2

Passo 3

Dividindo por a 2 b 2 :

y   y 0 a 2 a 2 b 2 + x   x 0 b 2 a 2 b 2 = 1

y   y 0 b 2 + x   x 0 a 2 = 1

Logo, a equação da reta tangente é dada por:

x   x 0 a 2 + y   y 0 b 2 = 1

Resposta

x   x 0 a 2 + y   y 0 b 2 = 1

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