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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 3q

3. Calcule e verifique sua resposta por derivação

q ) int ((1)/(3) e^(3 x) + sin 3 x) d x

Passo 1

Para facilitar as contas, podemos separar essa integral em duas por se trata se uma subtração de termos. Assim,

int (1)/(3) e^(3 x) d x + int sin 3 x d x

Passo 2

Vendo que ambas se tratam de primitivas imediatas. Na primeira integral, temos a primitiva imediata dada por int e^(alpha x) d x = (1)/(alpha) e^(alpha x) + k , com c e k constantes. Além disso, a segunda integral é da função seno, com primitiva imediata dada int sin alpha x d x = - (1)/(alpha) cos alpha x + k , sendo k uma constante. Logo,

int (1)/(3) e^(3 x) d x + int sin 3 x d x = (1)/(3) * (1)/(3) e^(3 x) - (1)/(3) cos 3 x + k = (1)/(9) e^(3 x) - (1)/(3) cos 3 x + k

Passo 3

Agora, vamos derivar o resultado que obtivemos para conferir se a integral está correta. Para isso, precisamos lembrar que a derivada de um polinômio é dada por (e^(a x))^' = a e^(a x) e que ( cos u ) ' = - u ' sin u . Então,

((1)/(9) e^(3 x) - (1)/(3) cos 3 x + k)^' = 3 (1)/(9) e^(3 x) - (- 3 (1)/(3) sin 3 x) + 0 = (1)/(3) e^(3 x) + sin 3 x

Ou seja, a integração está correta

Resposta

Portanto, o resultado a integração é

int ((1)/(3) e^(3 x) + sin 3 x) d x = (1)/(9) e^(3 x) - (1)/(3) cos 3 x + k

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