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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 27

Calcule

int_1^2 ((1 + x))/(x^3) d x

Passo 1

Podemos reescrever a integral como sendo:

int_1^2 ((1 + x))/(x^3) d x = int_1^2 (1)/(x^3) d x + int_1^2 (x)/(x^3) d x = int_1^2 x^(- 3) d x + int_1^2 x^(- 2) d x

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Para int x^(- 3) d x , n = - 3

int x^(- 3) d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^((- 3) + 1))/(- 3 + 1) = (x^(- 2))/(- 2) = - (x^(- 2))/(2)

Para int x^(- 2) d x , n = - 2

int x^(- 2) d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^((- 2) + 1))/(- 2 + 1) = (x^(- 1))/(- 1) = - x^(- 1)

int_1^2 ((1 + x))/(x^3) d x = [- (x^(- 2))/(2) - x^(- 1)]

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (x) uma primitiva de f (x) , então:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Assim: [- (x^(- 2))/(2) - x^(- 1)] (2)/(1) =

= (- (1)/(2 (2)^2) - (1)/((2)^1) - (- (1)/(2 (1)^2) - (1)/(1^1))) = (- (1)/(8) - (1)/(2) + (1)/(2) + 1) = (- (1)/(8) + 1) = ((- 1 + 8)/(8)) = (7)/(8)

Resposta

int_1^2 ((1 + x))/(x^3) d x = (7)/(8)

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