Enunciado

Determine se a função dada é biunívoca. Faça um esboço do gráfico da função.

f x = 1 2 x 2 - 2

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a função é biunívoca, isto é, se ela é injetora. Para que uma função seja inteira, diferentes valores de x devem dar, necessariamente, em diferentes valores de f ( x ) . Assim, devemos ter

s e   x 1 ≠ x 2 ⇒ f x 1 ≠ f ( x 2 )

Para esse exercício, temos f x = 1 2 x 2 - 2 , cujo gráfico é uma parábola. Sabemos que as parábolas não satisfazem o teste da reta horizontal e, portanto, f não é biunívoca!

Note que se tomarmos x 1 = - 2 e x 2 = 2 , temos que f x 1 = f - 2 = 0 e f x 2 = f 2 = 0 . Assim, temos que para x 1 ≠ x 2 , f x 1 = f ( x 2 ). Assim provamos que f de fato não é injetora!

Passo 2

O gráfico de f é dado a seguir:

Note que qualquer reta horizontal corta o gráfico de f em dois pontos distintos!

Resposta

Não é biunívoca.

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Seja y=f(x) e x = f^(- 1) (y) , verifique que(d x)/(d y) = (1)/((d y)/(d x)) f (x) = (4 - 3 x)^((1)/(2))
Seja y=f(x) e x = f^(- 1) (y) , verifique que(d x)/(d y) = (1)/((d y)/(d x)) f (x) = (2 x - 3)/(x + 2)