Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 79
Determine a linearização de
Em .
Passo 1
Muita calma nessa hora. Temos muitas informações para serem trabalhadas! Vamos relembrar primeiro como escrevemos a linearização de uma função. Sendo assim, a linearização é dada por:
Se queremos linearizar em torno do ponto , temos que , e assim precisamos calcular e . Mas aí entramos em outro problema! Como obtemos ? Como derivamos uma integral? É nesse momento que relembramos do teorema fundamental do cálculo parte 1. De uma forma bem resumida, se garantirmos a diferenciabilidade de uma função , sabemos que, se , então:
Passo 2
Vamos começar pelo mais fácil. Vamos calcular . Temos então:
Como os limites da integral são iguais entre si, o valor desta integral é igual a 0. Portanto,
Passo 3
Vamos agora obter a derivada da função .
É neste exato momento que aplicamos o teorema fundamental do cálculo parte 1. Se , temos:
Passo 4
Agora, podemos obter a função linearização! Temos então:
Portanto,