Suponha que int_(- 3)^0 g (t) d t = sqrt(2) . Calcule:

  1. int_0^(- 3) g (t) d t
  2. int_(- 3)^0 g (u) d u
  3. int_(- 3)^0 [- g (x)] d x
  4. int_(- 3)^0 (g ( r ))/(sqrt(2)) d r

Passo 1

Para resolver esta questão, precisamos descobrir alguma associação entre a integral de cada uma das letras com os valores das integrais já dados. Para isto, será de extrema importância usarmos e abusarmos das propriedades de integrais definidas, presentes na Tabela 5.4!!! Discutiremos cada uma das propriedades de acordo com a conveniência de cada letra.

Passo 2

A integral que precisamos calcular é:

int_(- 3)^0 (g ( r ))/(sqrt(2)) d r

A única diferença para a integral da questão é a variável de integração, que ao invés de ser t , é r . Esta mudança não afeta em nada o valor da integral. Se fizermos r = t d r = d t . Consequentemente, temos:

int_(- 3)^0 (g ( r ))/(sqrt(2)) d r = int_(- 3)^0 (g ( t ))/(sqrt(2)) d t

Passo 3

Agora, se utilizarmos a propriedade da multiplicação por um escalar, obtemos:

int_(- 3)^0 (g ( t ))/(sqrt(2)) d t = (1)/(sqrt(2)) * int_(- 3)^0 g ( t ) d t

int_(- 3)^0 (g ( t ))/(sqrt(2)) d t = (1)/(sqrt(2)) * sqrt(2) = 1

Resposta

int_(- 3)^0 (g ( r ))/(sqrt(2)) d r = 1

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