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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.5 - Ex. 17

Determine os momentos de inércia I x , I y , I 0 para a lâmina do Exercício 7 .

Passo 1

Pessoal, vamos lembrar que calculamos o momento de inércia I x em relação ao eixo x da seguinte forma:

I x = ∬ D   y 2   ρ x ,   y   d A

Usando os dados do Exercício 7 , temos:

∬ D   y 2   ρ x ,   y   d A = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 y 2   .   k y   d y   d x = k ∫ - 1 1 y 4 4 0 1 - x 2   d x = k ∫ - 1 1 1 - x 2 4 4   d x

= 1 4 k ∫ - 1 1 x 8 - 4 x 6 + 6 x 4 - 4 x 2 + 1   d x = 1 4 k x 9 9 - 4 x 7 7 + 6 x 5 5 - 4 x 3 3 + x - 1 1 = 64 315 k

Passo 2

Analogamente, vamos ao cálculo do momento de inércia I y em relação ao eixo y :

I y = ∬ D   x 2   ρ x ,   y   d A = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 x 2   .   k y   d y   d x = k ∫ - 1 1 x 2 y 2 2 0 1 - x 2   d x

= 1 2 k ∫ - 1 1 x 2 1 - x 2 2   d x = 1 2 k ∫ - 1 1 x 2 - 2 x 4 + x 6   d x = 1 2 k x 3 3 - 2 x 5 5 + x 7 7 - 1 1 = 8 105 k

Passo 3

Show! Agora só falta calcular o momento de inércia I 0 em relação à origem, da seguinte forma:

I 0 = I x + I y

I 0 = 64 315 k + 8 105 k

I 0 = 88 315 k

Resposta

I x = 64 315 k

I y = 8 105 k

I 0 = 88 315 k

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