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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.8 - Ex. 2

Use o Teorema de Stokes para calcular ∬ S r o t   F → ⋅ d S → .

F → x , y , z = 2 y cos ⁡ z   i → + e x   s e n z   j → + x e y k →

S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 9 ,   z ≥ 0 , orientado para cima.

Passo 1

Oi galera, tudo bem?

Nessa questão temos que usar o teorema de Stokes para resolver:

∬ S r o t   F → ⋅ d S →

Onde,

F → x , y , z = 2 y cos ⁡ z   i → + e x   s e n z   j → + x e y k →

S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 9 ,   z ≥ 0 , orientado para cima.

O Teorema de Stokes é definido como:

∬ S r o t   F → ⋅ d S → = ∫ C F → ⋅ d r →

A integral dupla do rotacional de F na superfície S é igual a integral de linha de F ao longo de uma curva fechada C .

Sabemos também que a integral de linha pode ser escrita da seguinte forma parametrizada:

∮ C F → ⋅ d r → = ∫ C F → r → t ⋅ r ' → ( t )   d t

Sabendo disso, a primeira coisa a se fazer é determinar a fronteira. No plano x y temos um círculo de raio 3 :

x 2 + y 2 = 3 2

Uma parametrização possível é:

x = 3 c o s t y = 3 s e n t z = 0                   0 ≤ t ≤ 2 π

Assim, o vetor r → ( t ) fica:

r → t = 3 c o s t i → + 3 s e n t j → + 0 k →

A derivada de r → t é:

d r → = r ' → ( t ) d t = - 3 s e n t ,   3 c o s t ,   0 d t

Vou deixar o resto com você. É só você parametrizar o campo F → e depois substituir na integral!

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar parametrizando o campo F → .

Precisamos fazer:

F → x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) = 2 y cos ⁡ z   i → + e x   s e n z   j → + x e y k →

Onde,

x = 3 c o s t y = 3 s e n t z = 0                   0 ≤ t ≤ 2 π

Substituindo temos:

F → r → t = 2 ( 3 s e n t ) cos ⁡ 0   i → + e 3 c o s t s e n   ( 0 )   j → + 3 e 3 s e n t cos ⁡ t   k →

Daí sabendo que s e n   0 = 0 , cos ⁡ 0 = 1 temos:

F → r → t = 6 s e n t i → + 0 j → + 3 e 3 s e n t cos ⁡ t   k →

Como já vimos, nossa integral tem a cara:

∫ C F → r → t ⋅ r ' → ( t )   d t

E já sabemos que:

d r → = r ' → ( t ) d t = - 3 s e n t ,   3 c o s t ,   0 d t

Logo, a integral fica:

∫ C 6 s e n t ,   0 ,   3 e 3 s e n t cos ⁡ t ⋅ - 3 s e n t ,   3 c o s t ,   0 d t

Fazendo o produto escalar, vamos ter:

∫ C - 18 s e n 2 t   d t

Passo 3

Agora é só calcular sobre os valores de 0 ≤ t ≤ 2 π :

∬ S r o t   F → ⋅ d S → = ∫ C F → ⋅ d r → = - 18 ∫ 0 2 π s e n 2 t   d t

Essa integral é muito conhecida, olhando em uma tabela de integrais temos que:

∫ s e n 2 x   d x = x 2 - 1 4 s e n   2 x

Logo, vamos ficar com:

- 18 t 2 - 1 4 s e n 2 t 0 2 π

Aplicando os limites de integração temos:

- 18 2 π 2 - 1 4 s e n 4 π + 18 0 2 - 1 4 s e n 0

- 18 2 π 2 - 0 + 18 0 - 0

Assim temos:

∬ S r o t   F → ⋅ d S → = - 18 π

Resposta

∬ S r o t   F → ⋅ d S → = - 18 π

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