Use o Teorema de Stokes para calcular ∬ S r o tF → ⋅ d S → . F → x , y , z = 2 y cos ⁡ zi → + e xs e n zj → + x e y k → S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 9 ,z ≥ 0 , orientado para cima.

∬ S r o tF → ⋅ d S → = - 18 π

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.8 - Ex. 2

Use o Teorema de Stokes para calcular .

é o hemisfério orientado para cima.

Passo 1

Oi galera, tudo bem?

Nessa questão temos que usar o teorema de Stokes para resolver:

Onde,

é o hemisfério orientado para cima.

O Teorema de Stokes é definido como:

A integral dupla do rotacional de na superfície é igual a integral de linha de ao longo de uma curva fechada .

Sabemos também que a integral de linha pode ser escrita da seguinte forma parametrizada:

Sabendo disso, a primeira coisa a se fazer é determinar a fronteira. No plano temos um círculo de raio :

Uma parametrização possível é:

Assim, o vetor fica:

A derivada de é:

Vou deixar o resto com você. É só você parametrizar o campo e depois substituir na integral!

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar parametrizando o campo .

Precisamos fazer:

Onde,

Substituindo temos:

Daí sabendo que temos:

Como já vimos, nossa integral tem a cara:

E já sabemos que:

Logo, a integral fica:

Fazendo o produto escalar, vamos ter:

Passo 3

Agora é só calcular sobre os valores de :

Essa integral é muito conhecida, olhando em uma tabela de integrais temos que:

Logo, vamos ficar com:

Aplicando os limites de integração temos:

Assim temos:

Resposta

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