Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 32
Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo certinho?
Vamos usar o teste da comparação do limite aqui: Imagina que temos duas séries (a série dada no enunciado) e (a série para comparação) e essas séries tem termos positivos. Aí nós calculamos o limite da divisão entre elas:
Se , então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem.
A vantagem é que nossa série:
Se parece muito com a série harmônica, que sabemos que diverge:
Viu como ali em cima nós vamos divimos uma série pela outra na aplicação desse teste? Escolhendo duas séries como essas que tem termos bem parecidos, facilita bastante nossa divisão, já que termos iguais vão se “cancelar”, simplificando o cálculo do limite.
Aqui vamos usar uma série harmônica que sabemos que diverge e calcular o limite. Se tivermos nossa resposta maior que 0, saberemos que nossa também vai divergir.
Passo 2
Neste caso a série que queremos comparar é a de termo:
Para comparar vamos usar a série harmônica:
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Fazendo a divisão de frações:
Veja que a expressão no nosso denominador é um pouco confusa de se analisar, pois temos incógnicas na base e no expoente ao mesmo tempo. Então vamos fazer uma simplificação: quando a gente aplica uma função Logaritmo natural em um termo, nós conseguimos “tombar” nosso expoente e fica bem mais simples a análise. Porém, não se pode simplesmente aplicar essa função, pois mudaria nossa sequência inicial, então vamos aplicar a exponencial e o logaritmo natural, pois como são funções inversas uma da outra, não alterará nossoo resultado:
Aplicando a propriedade do limite em funções contínuas, podemos passar o limite para o argumento da função, neste caso a função exponencial.
Aplicando L’Hospital no limite.
Como e a série harmônica diverge
Também diverge.
Resposta
Diverge.