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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 23

Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 3)^(oo) (5 + 2 n)/((1 + n^2)^2)

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste da comparação de limite.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida b_n e outra não a_n e então calculamos o seguinte limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = c

Se c for um número finito e c > 0 , ambas as séries convergem ou divergem.

Passo 2

Neste caso a série que queremos comparar é a de termo

a_n = (5 + 2 n)/((1 + n^2)^2)

Para comparar usaremos a série similar a série que estamos analisando, com um polinômio de primeiro grau no numerador e um polinômio de quarto grau no denominador

b_n = (n)/(n^4) = (1)/(n^3)

Passo 3

Vamos calcular o limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = underset(n -> oo)(lim) ((5 + 2 n)/((1 + n^2)^2))/((1)/(n^3))

Fazendo a divisão de frações

= underset(n -> oo)(lim) (5 + 2 n)/((1 + n^2)^2) * n^3

Colocando n em evidencia no parênteses e no numerador

= underset(n -> oo)(lim) (((5)/(n) + 2) n)/((((1)/(n^2) + 1) n^2)^2) * n^3 = underset(n -> oo)(lim) (((5)/(n) + 2) n^4)/(((1)/(n^2) + 1)^2 n^4)

Simplificando n^4

= underset(n -> oo)(lim) (((5)/(n) + 2))/(((1)/(n^2) + 1)^2) = 2

Como 2 > 0 e a série

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n^3)

É uma série-p com p = 3 que é maior que 1 e converge, nossa série

sum_(n = 1)^(oo) (5 + 2 n)/((1 + n^2)^2)

Também converge.

Resposta

Converge.

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