Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 46
Se e forem ambas séries convergentes com termos positivos, é verdade que também será convergente?
Passo 1
Fala, amigos! Tudo na tranquilidade?
A questão basicamente quer saber se, caso a gente multiplique duas séries convergentes de termos positivos, esse produto também vai ser convergente.
Se uma série é convergente, seu limite é:
Se ela converge, ela converge para algum valor, então veja como nossas séries sempre estarão entre dois valores, ou sejam, são limitadas e é essa lógica que vamos usar aqui na resolução.
Vem comigo!
Passo 2
Se nossas séries e são convergentes, as sequências e são limitadas, portanto podemos escrever assim:
Onde esse é o valor máximo que a sequência assume. Mesma lógica para :
Agora é só multiplicar essas desigualdades:
Portanto, é uma série com limite inferior e superior, ou seja, é limitada e, portanto, é convergente.
Resposta
Sim.