Enunciado

Determine a solução geral.

overset(¨)(x) - 2 overset(˙)(x) = e^t

Passo 1

A solução geral que estamos buscando é da forma

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde x_h (t) é a solução homogênea e x_p (t) a solução particular.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

overset(¨)(x) - 2 overset(˙)(x) = 0

Vamos então supor a solução x_h (t) = e^(r t) , para isso calculamos as derivadas

overset(˙)(x) = r e^(r t)

overset(¨)(x) = r^2 e^(r t)

Substituindo na equação temos

r^2 e^(r t) - 2 r e^(r t) = 0

Colocando e^(r t) em evidência

e^(r t) (r^2 - 2 r) = 0

r^2 - 2 r = 0

Passo 2

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

r^2 - 2 r = 0

r ( r - 2 ) = 0

Temos então

r_1 = 0

r_2 = 2

Portanto a solução homogênea é da forma

x_h (t) = A + B e^(2 t)

Onde A e B são constantes reais, ou A , B in R .

Passo 3

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é e^t .

Como temos uma entrada com cara exponencial, vamos supor uma solução particular com a mesma cara

y_p (t) = a e^t

Calculando as derivadas

x_p^' (t) = a e^t

x_p^(' ') (t) = a e^t

Substituindo então na equação

overset(¨)(x) - 2 overset(˙)(x) = e^t

a e^t - 2 a e^t = e^t

- a e^t = e^t

Temos então

a = - 1

E a solução particular é dada por

x_p (t) = - e^t

E a solução geral é dada por

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

x (t) = A + B e^(2 t) - e^t

Com A , B in R .

Resposta

x (t) = A + B e^(2 t) - e^t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.19. y ' ' + 2 y ' + y = s e nx + 3 cos ⁡ 2 x
Nos problemas 29-40, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.29. y ' ' + 4 y = - 2 ,y π 8 = 1 2 ,y ' π 8 = 2
Nos problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.23. y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = x - 4 e x
Nos problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.17. y ' ' - 2 y ' + 5 y = e x cos ⁡ 2 x
Nos problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.22. y ' ' ' - 2 y ' ' - 4 y ' + 8 y = 6 x e 2 x