Enunciado

Determine uma solução particular de

x ¨ + ω 0 2 x = b sen ⁡ ω t

onde γ , ω 0 , b e ω são constantes não-nulas dadas.

Passo 1

A solução geral que estamos buscando é da forma

x t = x h t + x p t

Onde x h t é a solução homogênea e x p t a solução particular.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

x ¨ + ω 0 2 x = 0

Vamos então supor a solução x h t = e r t , para isso calculamos as derivadas

x ˙ = r e r t

x ¨ = r 2 e r t

Substituindo na equação temos

r 2 e r t + ω 0 2 r e r t = 0

Colocando e r t em evidência

e r t r 2 + ω 0 2 = 0

r 2 + ω 0 2 = 0

Passo 2

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

r 2 + ω 0 2 = 0

r 2 = - ω 0 2

r = ± ω 0 i

Portanto a solução homogênea é da forma

x h t = A cos ⁡ ω 0 t + B sen ⁡ ω 0 t

Onde A e B são constantes reais.

Passo 3

Para a solução particular, vamos encontrar algo com a cara da entrada b sen ⁡ ω t .

Nesse caso vamos ter duas possibilidades, como o coeficiente da primeira derivada é nulo, uma das possibilidades acontece quando ω 0 ≠ ω , então sen ⁡ ω t não seria solução da homogênea e teríamos que supor

x p t = a sen ⁡ ω t

Calculando as derivadas

x p ' = a ω cos ⁡ ω t

x p ' ' = - a ω 2 sen ⁡ ω t

Substituindo na equação

x ¨ + ω 0 2 x = b sen ⁡ ω t

- a ω 2 sen ⁡ ω t + a ω 0 2 sen ⁡ ω t = b sen ⁡ ω t

a ω 0 2 - ω 2 sen ⁡ ω t = b sen ⁡ ω t

Então

a ω 0 2 - ω 2 = b

a = b ω 0 2 - ω 2

E a solução particular é dada por

x p t = b ω 0 2 - ω 2 sen ⁡ ω t

Passo 4

Outra possibilidade acontece quando ω 0 = ω , então sen ⁡ ω t seria solução da homogênea e teríamos que supor

x p t = a t cos ⁡ ω t + c t sen ⁡ ω t

Calculando as derivadas temos

x p ' = a cos ⁡ ω t - a ω t sen ⁡ ω t + c sen ⁡ ω t + c ω t cos ⁡ ω t

= cos ⁡ ω t a + c ω t + sen ⁡ ω t c - a ω t

x p ' ' = - ω sen ⁡ ω t a + c ω t + c ω cos ⁡ ω t + ω cos ⁡ ω t c - a ω t - a ω sen ⁡ ω t

= cos ⁡ ω t 2 c ω - a ω 2 t + sen ⁡ ω t - 2 a ω - c ω 2 t

Substituindo na equação

x ¨ + ω 0 2 x = b sen ⁡ ω t

cos ⁡ ω t 2 c ω - a ω 2 t + sen ⁡ ω t - 2 a ω - c ω 2 t + ω 0 2 a t cos ⁡ ω t + c t sen ⁡ ω t = b sen ⁡ ω t

Como neste caso ω 0 = ω , grande parte da equação se cancela sobrando

2 c ω cos ⁡ ω t - 2 a ω sen ⁡ ω t = b sen ⁡ ω t

E temos as igualdades

2 c ω = 0

c = 0

- 2 a ω = b

a = - b 2 ω

E a solução particular é dada por

x p t = - b 2 ω t cos ⁡ ω t

Resposta

x t = x h t + x p t

x h t = A cos ⁡ ω 0 t + B sen ⁡ ω 0 t

Com A , B ∈ R .

Se ω 0 ≠ ω :

x p t = b ω 0 2 - ω 2 sen ⁡ ω t

Se ω 0 = ω :

x p t = - b 2 ω t cos ⁡ ω t

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