Determine uma solução particular de x ¨ + ω 0 2 x = b sen ⁡ ω t onde γ , ω 0 , b e ω são constantes não-nulas dadas.

x t = x h t + x p t x h t = A cos ⁡ ω 0 t + B sen ⁡ ω 0 t Com A , B ∈ R .Se ω 0 ≠ ω : x p t = b ω 0 2 - ω 2 sen ⁡ ω t Se ω 0 = ω : x p t = - b 2 ω t cos ⁡ ω t

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.5 - Ex. 5

Determine uma solução particular de

onde e são constantes não-nulas dadas.

Passo 1

A solução geral que estamos buscando é da forma

Onde é a solução homogênea e a solução particular.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

Vamos então supor a solução , para isso calculamos as derivadas

Substituindo na equação temos

Colocando em evidência

Passo 2

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

Portanto a solução homogênea é da forma

Onde e são constantes reais.

Passo 3

Para a solução particular, vamos encontrar algo com a cara da entrada .

Nesse caso vamos ter duas possibilidades, como o coeficiente da primeira derivada é nulo, uma das possibilidades acontece quando , então não seria solução da homogênea e teríamos que supor