Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.5 - Ex. 5
Determine uma solução particular de
onde e são constantes não-nulas dadas.
Passo 1
A solução geral que estamos buscando é da forma
Onde é a solução homogênea e a solução particular.
Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação
Vamos então supor a solução , para isso calculamos as derivadas
Substituindo na equação temos
Colocando em evidência
Passo 2
Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada
Portanto a solução homogênea é da forma
Onde e são constantes reais.
Passo 3
Para a solução particular, vamos encontrar algo com a cara da entrada .
Nesse caso vamos ter duas possibilidades, como o coeficiente da primeira derivada é nulo, uma das possibilidades acontece quando , então não seria solução da homogênea e teríamos que supor
Calculando as derivadas
Substituindo na equação
Então
E a solução particular é dada por
Passo 4
Outra possibilidade acontece quando , então seria solução da homogênea e teríamos que supor
Calculando as derivadas temos
Substituindo na equação
Como neste caso , grande parte da equação se cancela sobrando
E temos as igualdades
E a solução particular é dada por
Resposta
Com .
Se :
Se :