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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.2 - Ex. 1n

  1. Resolva a equação

n) 2 (d^2 x)/(d t^2) + (d x)/(d t) - x = 0

Passo 1

Teorema,

  1. s e lambda_1 != lambda_2 , a s o l u ç ã o g e r a l d a e q u a ç ã o h o m o g ê n e a (lambda^2 + b lambda + c = 0) s e r á

    2. x = A e^(lambda_1 t) + B e^(lambda_2 t)

  2. s e lambda_1 = lambda_2 , a s o l u ç ã o g e r a l s e r á

x = A e^(lambda_1 t) + B t e^(lambda_1 t)

Passo 2

aplicando em nossa questão:

2 (d^2 x)/(d t^2) + (d x)/(d t) - x = 0

Transformando no formato lambda^2 + b lambda + c = 0 ,

2 lambda^2 + lambda - 1 = 0

Passo 3

Resolvendo...

2 lambda^2 + lambda - 1 = 0

lambda^2 + (lambda)/(2) - (1)/(2) = 0

(lambda + 1) (lambda - (1)/(2))

As raízes dessa equação homogênea são,

lambda_1 = - 1 , lambda_2 = (1)/(2)

Pelo teorema, lambda_1 != lambda_2

Então a solução geral da equação,

x = A e^(- 1 * t) + B e^((1)/(2) * t)

Resposta

x = A e^(- t) + B e^((1)/(2) t)

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