Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.5 - Ex. 1i
Determine a solução geral.
Passo 1
A solução geral que estamos buscando é da forma
Onde é a solução homogênea e a solução particular.
Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação
Vamos então supor a solução , para isso calculamos as derivadas
Substituindo na equação temos
Colocando em evidência
Passo 2
Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada
Portanto a solução homogênea é da forma
Onde e são constantes reais, ou .
Passo 3
Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é .
Temos então como entrada um polinômio de segundo grau, para esse tipo de entrada, como não temos uma componente na equação diferencial, vamos supor que a solução particular tem a cara de um polinômio de mesmo grau, multiplicado por
Calculando as derivadas
Substituindo então na equação
Por igualdade de polinômio
Manipulando a segunda equação
Fazendo a mesma coisa com a terceira equação
Então temos a solução particular
E a solução geral é dada por
Com .