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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.5 - Ex. 4

Determine uma solução particular de

x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = b sen ⁡ ω t

onde γ , ω 0 , b e ω são constantes não-nulas dadas.

Passo 1

Para a solução particular, vamos encontrar algo com a cara da entrada b sen ⁡ ω t .

Temos então como entrada um seno, para esse tipo de entrada, como o coeficiente da primeira derivada não é nulo, vamos supor que a solução particular tem a cara

x p t = A cos ⁡ ω t + B sen ⁡ ω t

Derivando duas vezes, para substituir na equação diferencial

x p ' = - A ω sen ⁡ ω t + B ω cos ⁡ ω t

x p ' ' = - A ω 2 cos ⁡ ω t - B ω 2 sen ⁡ ω t

Passo 2

Substituindo então na equação

x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = b sen ⁡ ω t

- A ω 2 cos ⁡ ω t - B ω 2 sen ⁡ ω t + 2 γ - A ω sen ⁡ ω t + B ω cos ⁡ ω t + ω 0 2 A cos ⁡ ω t + B sen ⁡ ω t = b sen ⁡ ω t

Colocando em evidência o seno e o cosseno

cos ⁡ ω t - A ω 2 + 2 B γ ω + A ω 0 2 + sen ⁡ ω t - B ω 2 - 2 A γ ω + B ω 0 2 = b sen ⁡ ω t

cos ⁡ ω t 2 B γ ω + A ( ω 0 2 - ω 2 ) + sen ⁡ ω t - 2 A γ ω + B ( ω 0 2 - ω 2 ) = b sen ⁡ ω t

Temos então o sistema para encontrar A e B

2 B γ ω + A ω 0 2 - ω 2 = 0 - 2 A γ ω + B ω 0 2 - ω 2 = b

Da primeira equação, podemos isolar B

2 B γ ω + A ω 0 2 - ω 2 = 0

B = - A ω 0 2 - ω 2 2 γ ω

Substituindo na segunda equação

- 2 A γ ω + B ω 0 2 - ω 2 = b

- 2 A γ ω - A ω 0 2 - ω 2 2 γ ω ω 0 2 - ω 2 = b

Fazendo o MMC e multiplicando os dois lados por - 1

4 A γ ω 2 + A ω 0 2 - ω 2 2 2 γ ω = - b

A 4 γ 2 ω 2 + ω 0 2 - ω 2 2 = - 2 b γ ω

A = - 2 b γ ω 4 γ 2 ω 2 + ω 0 2 - ω 2 2

Substituindo em B

B = ω 0 2 - ω 2 2 γ ω 2 b γ ω 4 γ 2 ω 2 + ω 0 2 - ω 2 2

B = b ω 0 2 - ω 2 4 γ 2 ω 2 + ω 0 2 - ω 2 2

Passo 3

Então a solução particular que estamos buscando é

x p t = A cos ⁡ ω t + B sen ⁡ ω t

x p t = - 2 b γ ω 4 γ 2 ω 2 + ω 0 2 - ω 2 2 cos ⁡ ω t + b ω 0 2 - ω 2 4 γ 2 ω 2 + ω 0 2 - ω 2 2 sen ⁡ ω t

Podemos ainda colocar b e o denominador em evidência

x p t = b 4 γ 2 ω 2 + ω 0 2 - ω 2 2 - 2 γ ω cos ⁡ ω t + ω 0 2 - ω 2 sen ⁡ ω t

Resposta

x p t = b 4 γ 2 ω 2 + ω 0 2 - ω 2 2 - 2 γ ω cos ⁡ ω t + ω 0 2 - ω 2 sen ⁡ ω t

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