Uma empresa de construções acrescentou uma área retangular de mil metros quadrados à sua sede. Três lados da área estão cercados. O lado da sede que é adjacente à área mede 100 metros, e uma parte desse lado é utilizada como o quarto lado da área acrescentada. Sejam x e y as dimensões da área retangular, onde x é medido paralelamente à sede, e L o comprimento da cerca necessária para essas dimensões.

(a) Encontre uma fórmula para L em termos de x e y.

(b) Encontre uma fórmula que expresse L somente em termos de x.

(c) Qual é o domínio da função em (b)?

(d) Esboce o gráfico da função em (b) e estime as dimensões da área retangular que minimizem a quantidade de cerca necessária.

(b) Agora, vamos precisar saber uma relação entre e , pois já sabemos em função dos dois.

O enunciado nos deu que essa área retangular vale . Vamos usar isso, pois sabemos que a área de um retângulo é o produto dos seus lados:

Como :

Substituindo isso na equação para do passo anterior:

Ou ainda, fazendo o mmc:

(c) O domínio representa os valores de .

Olhando para a função que temos:

De cara, podemos dizer que , pois ficaria uma divisão por e não queremos isso. Além disso, como é uma medida de comprimento, não podemos ter um valor negativo para ele. Por último, como uma parte do lado de da sede é usado como o quarto lado do retângulo e esse quarto lado deve valer , ele deve ser no máximo também!

Juntando essas informações, vemos que:

(d) Esboçando :

E vemos que o menor valor de ocorre entre e . Com isso, vamos colocar .

Dessa forma, usando a relação entre e do passo 2: