Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.10 - Ex. 31

Fala aí. Tudo certinho por aí?

Bom, essa questão dá pra gente a função

E pede pra gente encontrar . Que na verdade é sua antiderivada mais geral.

Para isso, precisamos lembrar que a antidevada é o processo inverso da derivação.

Então, sabemos que uma função é chamada de antiderivada de em um intervalo se:

para todo em .

E se é uma antiderivada de nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de em é:

onde é uma constante qualquer.

Pronto, então para achar a antiderivada, temos que achar uma função que derivando nós encontramos .

Queremos achar as funções tais que . Vamos fazer isso aplicando a antiderivada.

Se temos negativo, sabemos que:

Logo, a antiderivada de é , para .

Temos então:

Perceba que apareceu ali uma constante . Vamos descobrir qual o seu valor.

Para isso lembraremos da condição inicial dada. Assim, como :

Então temos a função :

E prontinho. Chegamos a nossa resposta.