Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 28
Encontre as curvas das trajetórias ortogonais de que passam por .
Passo 1
E aí, vamos lá entender esse probleminha?
Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por e que passam por .
A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser
Aí é só resolver pra encontrarmos a forma genérica das trajetórias ortogonais
Pra encontrarmos as curvas que passam por , vamos substituir e na equação encontrada para aí encontrarmos o valor da constante , vamos lá?
Passo 2
Vamos começar encontrando a equação diferencial , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:
Usando a regra da cadeia (pra derivarmos o ) e a regra do produto:
Vamos isolar o :
Olha, dá pra dividirmos em cima e embaixo por 3:
Humm vamos isolar o lá na equação , pra aí podermos substituir na equação
Substituindo em :
Bora fazer um MMC nesse aí:
Então, a equação diferencial da família dada é
Passo 3
Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos
Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:
Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P
Passo 4
Temos
Podemos escrever assim olha, que aí fica mais bonitinho:
Ihá, agora é só integrar dos dois lados:
Por propriedade de logaritmo:
Belezinha, essa é a equação que descreve as trajetórias ortogonais, mas precisamos do valor de para encontrarmos qual a curva que passa por
Para isso, vamos substituir e na equação que encontramos beleza?
Passo 5
Temos que as trajetórias ortogonais são descritas por
Fazendo e :
Substituindo esse valor de na nossa equação:
Agora vamos aplicar propriedade de potência:
Mas cara, é o próprio 10 né? Então a equação que tanto procuramos é