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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 18

Uma força eletromatriz (fem) de 200 volts é aplicada a um circuito R-C em série no qual a resistência é 1000 ohms e a capacitância, 5.10 - 6   f a r a d . Encontre a carga q ( t ) no capacitor se i 0 = 0,4 . Determine a carga quando t → ∞ .

Passo 1

Oii, vamos pra mais uma?

Aqui vamos utilizar a equação 8 dessa seção do seu livro, que fala justamente sobre o circuito em série R-C

R d q d t + 1 C q = E ( t )

E aí ele fala que E = 2 00   V , R = 1000   o h m s e C = 5.10 - 6   f a r a d , vamos substituir:

1000 d q d t + 1 5.10 - 6 q = 200

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d q d t + A t . q = B ( t ) , olha, dividindo tudo por 10 00 :

d q d t + 200 q = 0,2

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

q t = 1 I t ∫ I t . B t   d t + c     ( I I )

Onde I t = e ∫ A t   d t

Na nossa equação ( I ) , temos A t = 200 e B t = 0,2 = 2 10 então:

I t = e ∫ 200   d t

I t = e 20 0 t

Substituindo o que temos na equação ( I I ) :

q t = 1 e 200 t ∫ e 200 t . 2 10   d t + c

q t = 1 e 200 t e 20 0 t 100 0 + c

Então:

q t = 1 10 0 0 + c . e - 200 t

Agora só falta encontrar o valor de c

Passo 2

Temos

q t = 1 100 + c . e - 50 t     ( I I I )

E o enunciado falou que i 0 = 0 . 4 , então a primeira coisa que temos que fazer é encontrar i ( t ) , para aí termos o valor de c e substituirmos em q ( t )

A corrente i ( t ) é a derivada da carga q ( t ) , belezinha? Então:

i t = d d t 1 1000 + c . e - 200 t

i t = 0 + c . - 200 . e - 200 t

i t = - 200 c . e - 200 t

Ta bom, essa é a expressão da corrente, agora vamos usar que i 0 = 0,4 :

i 0 = 0,4 = - 200 c . e - 200 . 0

- 200 c = 0,4

c = - 0,4 200 = - 2.10 - 3

Agora vamos substituir esse valor de c lá na equação ( I I I ) , e aí temos a expressão da carga:

q t = 1 100 - 2.10 - 3 . e - 50 t

Passo 3

Agora vamos responder a última pergunta do enunciado galeraaa

Ele quer saber quando vale a carga q ( t ) quando t → ∞ :

lim t → ∞ ⁡ 1 100 - 2.10 - 3 . e - 50 t

Quando t → ∞ , e - 50 t → 0 , então:

lim t → ∞ ⁡ 1 100 - 2.10 - 3 . e - 50 t = 1 100 - 2.10 - 3 . 0

lim t → ∞ ⁡ 1 100 - 2.10 - 3 . e - 50 t = 1 100

E fim :)

Resposta

q t = 1 100 - 2.10 - 3 . e - 50 t

lim t → ∞ ⁡ 1 100 - 2.10 - 3 . e - 50 t = 1 100

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Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.45. y ' + tan ⁡ x y = c o s 2 x , no qual y 0 = - 1 .
Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.39. y ' = 10 - y cosh ⁡ x
Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.46. d Q d x = 5 x 4 Q , no qual Q 0 = - 7 .
Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.48. x d y + x y + 2 y - 2 e - x d x = 0 , no qual y 1 = 0 .
Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.36. d P d t + 2 t P = P + 4 t - 2