Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 13
Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
Passo 1
E aí, vamos lá fazer mais um de trajetórias ortogonais?
Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por, né?
A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser
Aí é só resolver pra encontrarmos as trajetórias ortogonais, vamos lá então?
Passo 2
Vamos começar encontrando a equação diferencial , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:
Usando a regra da cadeia:
Vamos isolar o na equação , só pra aí a gente poder substituir na equação
Belezinha, vamos substituir esse na equação então
Então a equação diferencial da família dada é
Passo 3
Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos
Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:
Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P
Passo 4
Temos
Isso é uma equação diferencial homogênea, então vamos usar os super métodos de resolução que vimos lá na teoria e chamar uma nova variável:
E aí vamos calcular o novo usando a regra do produto, já que :
Agora vamos lá na equação e trocar por e por :
Agora sim, vamos resolver essa equação diferencial em e depois voltamos pro belezinha?
Passo 5
Temos
Fazendo MMC em
Então temos a EDO separável:
Então olha só:
Integrando dos dois lados:
Agora vamos voltar para a variável , lembrando que :
Então, as trajetórias ortogonais são descritas por