Encontre d^2y/dx^2 por derivação implícita.

x \* cos(y) = y

Passo 1

Bom galera, vamos começar derivando uma vez tudo, assim a gente fica:

y = x cos ⁡ y

→ d d x y = d d x x cos ⁡ y

→ d y d x = cos ⁡ y - x sin ⁡ y d y d x

→ d y d x + x sin ⁡ y d y d x = cos ⁡ y

Vamos colocar d y / d x em evidência:

→ d y d x 1 + x sin ⁡ y = cos ⁡ y

Logo, temos:

→ d y d x = cos ⁡ y 1 + x sin ⁡ y

Passo 2

Belezinha, agora derivamos denovo com a regra do produto:

d y d x = cos ⁡ y 1 + x sin ⁡ y

→ d 2 y d x 2 = - sin ⁡ y d y d x 1 + x sin ⁡ y - cos ⁡ y sin ⁡ y cos ⁡ y d y d x 1 + x sin ⁡ y 2

→ d 2 y d x 2 = - sin ⁡ y d y d x - x sin 2 ⁡ y d y d x - cos ⁡ y sin ⁡ y - x cos 2 ⁡ y d y d x 1 + x sin ⁡ y 2

→ d 2 y d x 2 = - sin ⁡ y d y d x - x d y d x sin 2 ⁡ y + cos 2 ⁡ y - cos ⁡ y sin ⁡ y - cos 2 ⁡ y d y d x 1 + x sin ⁡ y 2

→ d 2 y d x 2 = - d y d x x + sin ⁡ y - cos ⁡ y sin ⁡ y 1 + x sin ⁡ y 2

Passo 3

Show de bola, a gente pode substituir d y d x pelo que já encontramos no passo 1:

d 2 y d x 2 = - d y d x x + sin ⁡ y - cos ⁡ y sin ⁡ y 1 + x sin ⁡ y 2

→ d 2 y d x 2 = - cos ⁡ y 1 + x sin ⁡ y x + sin ⁡ y - cos ⁡ y sin ⁡ y 1 + x sin ⁡ y 2

Simplificando tudo, ficamos com:

→ d 2 y d x 2 = - y 1 + sin 2 ⁡ y - sin ⁡ 2 y 1 + x sin ⁡ y 3

Resposta

d 2 y d x 2 = - y 1 + sin 2 ⁡ y - sin ⁡ 2 y 1 + x sin ⁡ y 3

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