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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 18

Encontre d^2 y // d x^2 por derivação implícita.

x cos y = y

Passo 1

Bom galera, vamos começar derivando uma vez tudo, assim a gente fica:

y = x cos y

-> (d)/(d x) [y] = (d)/(d x) [x cos y]

-> (d y)/(d x) = cos y - x sin y (d y)/(d x)

-> (d y)/(d x) + x sin y (d y)/(d x) = cos y

Vamos colocar d y // d x em evidência:

-> (d y)/(d x) (1 + x sin y) = cos y

Logo, temos:

-> (d y)/(d x) = (cos y)/(1 + x sin y)

Passo 2

Belezinha, agora derivamos denovo com a regra do produto:

(d y)/(d x) = (cos y)/(1 + x sin y)

-> (d^2 y)/(d x^2) = (- sin y (d y)/(d x) (1 + x sin y) - cos y (sin y cos y (d y)/(d x)))/((1 + x sin y)^2)

-> (d^2 y)/(d x^2) = (- sin y (d y)/(d x) - x sin^2 y (d y)/(d x) - cos y sin y - x cos^2 y (d y)/(d x))/((1 + x sin y)^2)

-> (d^2 y)/(d x^2) = (- sin y (d y)/(d x) - x (d y)/(d x) (sin^2 y + cos^2 y) - cos y sin y - cos^2 y (d y)/(d x))/((1 + x sin y)^2)

-> (d^2 y)/(d x^2) = (- (d y)/(d x) (x + sin y) - cos y sin y)/((1 + x sin y)^2)

Passo 3

Show de bola, a gente pode substituir (d y)/(d x) pelo que já encontramos no passo 1:

(d^2 y)/(d x^2) = (- (d y)/(d x) (x + sin y) - cos y sin y)/((1 + x sin y)^2)

-> (d^2 y)/(d x^2) = (- ((cos y)/(1 + x sin y)) (x + sin y) - cos y sin y)/((1 + x sin y)^2)

Simplificando tudo, ficamos com:

-> (d^2 y)/(d x^2) = - (y (1 + sin^2 y) - sin 2 y)/((1 + x sin y)^3)

Resposta

(d^2 y)/(d x^2) = - (y (1 + sin^2 y) - sin 2 y)/((1 + x sin y)^3)

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