Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.8 - Ex. 30
Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
Passo 1
Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá:
E pede pra a gente calcular usando a definição derivada e dizer qual é o domínio de e .
Vamos relembrar a definição de derivada:
Aqui não tem mistério, temos que substituir e calcular. O único ponto de atenção é que, como não podemos calcular direto, se não teremos uma indeterminação! Então vamos ter que dar aquela manipulada no limite pra fugir disso. Beleza?!
Passo 2
Substituindo a nossa função na definição de derivada:
Pra sair disso a gente vai multiplicar e dividir pelo conjugado do numerador :
Temos então:
No numerador temos uma diferença de cubos, lembrando que:
Aqui temos e , aplicando:
Cortando o já podemos calcular o limite:
Finalmente chegamos em:
Pronto, a derivada está calculada. Agora vamos aos domínios.
Passo 3
Para calcular o domínio de uma função temos que pensar em quais pontos essa função não pode ser calculada, temos:
A restrição aqui é que a raiz não pode ser negativa, portanto:
Vamos ver da derivada agora:
Logo, novamente temo que , então: