Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais s��o os domínios da função e da derivada.

G(t) = (1 - 2t) / (3 + t)

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá:

G t =   1 - 2 t 3 + t

E pede pra a gente calcular g ' ( x ) usando a definição derivada e dizer qual é o domínio de g ( x ) e g ' ( x ) .

Vamos relembrar a definição de derivada:

f ' x =   lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) f

Aqui não tem mistério, temos que substituir e calcular. O único ponto de atenção é que, como h → 0 não podemos calcular direto, se não teremos uma indeterminação! Então vamos ter que dar aquela manipulada no limite pra fugir disso. Beleza?!

Passo 2

Substituindo a nossa função na definição de derivada:

G ' t =   lim h → 0 ⁡ G t + h - G ( t ) h

G ' t =   lim h → 0 ⁡ 1 - 2 ( t + h ) 3 + t + h - 1 - 2 t 3 + t h

Fazendo mmc no numerdador:

G ' t = l i m h → 0 3 + t 1 - 2 t - 2 h - 3 + t + h 1 - 2 t 3 + t + h 3 + t h  

Simplificando:

G ' t = lim h → 0 ⁡ - 7 h h 3 + t + h 3 + t

Depois que a gente cortar o h é só calcular o limite:

G ' t = lim h → 0 ⁡ - 7 3 + t + h 3 + t

G ' t = - 7 9 + 6 t + t 2  

G ' t =   - 7 3 + t 2

Pronto, a derivada está calculada. Agora vamos aos domínios!

Passo 3

Para calcular o domínio de uma função temos que pensar em quais pontos essa função não pode ser calculada, para G t =   1 - 2 t 3 + t   temos uma denominador que não pode ser igual a zero, então:

3 + t ≠ 0

t ≠ - 3

Sendo assim:

D o m   G t = R - - 3

Vamos ver o da derivada agora:

G ' t =   - 7 3 + t 2

Aqui, temos a mesma restrição da de G ( x ) , pois é o mesmo termo no denominador, só que ao quadrado, então:

D o m   G ' t = R - - 3

Resposta

G ' t =   - 7 3 + t 2

D o m   G t = R - - 3

D o m   G t = R - - 3

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