Use a definição para calcular as derivadas da função. Depois, determine os valores da derivada conforme especificado.

Use a fórmula

Para determinar a derivada da função abaixo

1. Quando uma função é derivável no ponto ?

Dê a definição

2. Usando a definição dada no item , calcule a derivada da função

No ponto .

Use a fórmula

Para determinar a derivada da função abaixo

Mostre, através da definição da derivada, que a derivada de um polinômio é:

Calcule usando a definição, nos seguintes casos:

d)

Para cada uma das seguintes funçōes, calcule pela definição a sua função derivada:

h)

1. Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado.

b. e

2. Em cada item abaixo, determine .

Use a definição de derivada para calcular a derivada de . Determine o domínio de .

8 – Se a posição de um carro no instante é dada por , então a sua velocidade pode ser calculada a partir do seguinte limite

Calcule a velocidade em cada um dos casos abaixo.

a)

Seja uma função contínua satisfazendo as seguintes propriedades:

1. e
4. é derivável até segunda ordem em ;
5. Existe uma função contínua tal que para todo e
6. Existe uma função contínua tal que para todo e

(a) Usando a Regra de L’Hospital para calcular o limite, decida se é derivável em e determine, em caso afirmativo, .

(b) Estude f em relação a seus intervalos de crescimento e decrescimento, intervalos de concavidade, pontos de máximo e mínimo locais e globais e pontos de inflexão.

(c) Esboce o gráfico de .

Seja uma função contínua derivável satisfazendo as seguintes propriedades:

1. ;
2. ;

Considere também que a função definida por . Decida se cada afirmação é verdadeira ou falsa:

A) A equação possui exatamente uma solução real. A solução dessa equação é um número real estritamente positivo.

B) A equação possui exatamente duas soluções reais.

C) A função possui um único ponto de mínimo local.

D) A função possui ao menos um ponto de máximo local.

E) A equação possui ao menos uma solução real.

Um triângulo possui dois de seus lados iguais a 3cm e 8cm e o terceiro lado variando com o tempo. Em um certo instante, o lado mede 7cm e está aumentando a uma taxa de . Determine a taxa com a qual o ângulo oposto ao lado está variando neste momento.

Considere todos os triângulos retângulos cujos catetos estão contidos nos eixos coordenadas e que a hipotenusa contém o ponto (3,2). A menor área que um desses triângulos pode ter é quanto?

Seja uma função derivável tal que . Suponha que seja duas vezes derivável em e que . Suponha ainda que se . O valor do limite

É:

Calcule a derivada de

Use a definição de derivada de uma função para calcular e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto

Calcule a derivada de

Considere as funções e , onde são constantes reais e . Decida a veracidade das afirmações abaixo:

• Se , então é estritamente crescente
• Se , então possui exatamente um ponto de máximo e um ponto de mínimo local
• Se , então possui um único ponto crítico que não é ponto de máximo ou mínimo local
• Se , então é estritamente decrescente
• A derivada de é uma função limitada

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?

Vamos aqui ter que avaliar uma por uma das alternativas e usando a teoria que conhecemos, aplicar nossos conhecimentos e ver se são verdadeiras ou falsas. O enunciado não pede, mas vamos justificar todas elas pra gente ter sempre uma ideia do que estamos fazendo.

Passo 2

• Se , então é estritamente crescente

Falsa, pois se então . Logo, não pode ser estritamente crescente.

• e , então possui exatamente um ponto de máximo e um ponto de mínimo local

Verdadeira. Agora tem duas raízes, sendo negativa somente no intervalo entre essas raízes. Uma análise do crescimente da função garante o resultado.

• Se , então possui um único ponto crítico que não é ponto de máximo ou mínimo local

Verdadeira. Aproveitando até o que discutimos anteriormente, a condição garante que (uma única raiz dupla) e portanto, sempre crescente, com um único ponto crítico.

• Se , então é estritamente decrescente

Falsa, pois tem discriminante que, se negativo garante para todo , logo é estritamente crescente.

• A derivada de é uma função limitada

Verdadeira, pois e portanto,

Seja Determine, caso existam:

Seja . Determinar as declividades das tangentes à elipse

em função de . Verificar que independe de . Quais são os pontos das tangentes horizontais? Quais são as tangentes (em forma cartesiana) para e ?

03) Use a definição de derivada de uma função para calcular e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto .

01) Use a definição de derivada de uma função para calcular e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto .

02) Use a definição de derivada de uma função para calcular e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto .

05) Seja é diferenciável em é contínua em ?

1. Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado.

h. e

1. Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado.

f. e

1. Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado.

g. e

Use a definição derivada para calcular a derivada de cada uma das funções no

ponto indicado:

no ponto

Use a definição de derivada de uma função para calcular e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto

Use a definição derivada para calcular a derivada de cada uma das funções no

ponto indicado:

no ponto

1. Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado.

1. e

1. Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado.

e. e

1. Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado.

i. e

2. Em cada item abaixo, determine .

f.

Com a definição de derivada e as propriedades de limite, calcule para:

Considere a função:

Usando a definição de derivada, calcule . Aqui, é um número real qualquer.

Utilizando a definição, determine a derivada da função

no ponto .

1. Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado.

c. e

1. Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado.

d. e

1. Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado.

k. e

1. Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado.

l. e

2. Em cada item abaixo, determine .

c.

Para que o Teorema de Weierstrass possa ser aplicado, é necessário que a função seja diferenciavel no intervalo considerado?

3. Dois objetos e movem-se sobre uma linha reta e suas posições em função do tempo são dadas, respectivamente, por e , sendo as posições medidas em metros e o tempo em segundos.

(a) Determine as posições iniciais dos objetos, em .

(b) Determine as posições dos objetos, em .

(c) Determine as velocidades médias dos objetos entre os instantes e .

(d) Determine as velocidades dos objetos no instante .

(e) Determine as velocidades dos objetos no instante .

(f) Em qual instante de tempo entre e os dois objetos possuem a mesma velocidade?

Considere a curva definida pela equação . Calcule e encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto .

Suponha que para todo . Considere as seguintes afirmações:

1. é contínua em .
2. é diferenciável em .
3. .

É verdadeira ou são verdadeiras:

1. Todas as três afirmativas.
2. Somente a afirmativa (II).
3. Somente a afirmativa (I).
4. Nenhuma das afirmativas.
5. As afirmativas (I) e (II).

Considere uma função satisfazendo:

Então, vale necessariamente que:

1. .
2. não existe.
3. não está definida em .
4. .

Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:

Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:

Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:

Usando a definição de derivada, calcule para

Questão 4:

Use a definição precisa de derivada (via limite) e prove que se então .

Calcule por meio da definição a derivada de (não é permitido aqui usar a regra de L’Hospital).

2) Calcule, usando a definição, a derivada da função no ponto

Seja dada por . Calcule, caso exista,

Considere a função definida por:

(b) Use a definição de derivada para mostrar que não é derivável em

Usando a definição de derivada, calcule , para , definida para

17. Devido a sua conexão com retas secante, tangente e taxas instantâneas, os limites da forma

Ocorrem com frequência em cálculo. Avalie os seguintes limites para os valores dados de e a função .

a)

17. Devido a sua conexão com retas secante, tangente e taxas instantâneas, os limites da forma

Ocorrem com frequência em cálculo. Avalie os seguintes limites para os valores dados de e a função .

c)

17. Devido a sua conexão com retas secante, tangente e taxas instantâneas, os limites da forma

Ocorrem com frequência em cálculo. Avalie os seguintes limites para os valores dados de e a função .

d)

Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto indicado:

d) em

Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto indicado:

a) em

Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto indicado:

b) em

1) Sejam e duas funções tais que , , e . Sejam e funções definidas por , .

É correto afirmar que

Escolha uma:

a)

b)

c)

d)

e)

Seja . Mostre que não é diferenciável em

Utilizando a definição, calcule a derivada de

Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto indicado:

c) em

Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto indicado:

e) em

Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:

(Stewart) Se uma pedra for lançada para cima no planeta Marte, com velocidade de , sua altura em metros, após segundos, é dada por .

c) Quando à pedra atinge a superfície?

C9) Determine a função afim que satisfaz , .

Mostre a partir da definição de derivada que

Use a definição derivada para calcular a derivada de cada uma das funções no

ponto indicado:

no ponto

Use a definição derivada para calcular a derivada de cada uma das funções no

ponto indicado:

no ponto

Use a definição derivada para calcular a derivada de cada uma das funções no

ponto indicado:

no ponto

Use a definição derivada para calcular a derivada de cada uma das funções no

ponto indicado:

no ponto

Use a definição derivada para calcular a derivada de cada uma das funções no

ponto indicado:

no ponto

Use a definição derivada para calcular a derivada de cada uma das funções no

ponto indicado:

no ponto

Derive:

i)

Calcule usando a definição, nos seguintes casos:

a) ;

A posição de uma partícula sobre uma linha reta graduada em metros no instante segundos é dada por

1. Determine
2. Determine
3. Em quais instantes a partícula está em repouso?
4. Quando a partícula está se movendo para frente? E quando está se movendo para trás?
5. Qual é o deslocamento da partícula entre os instantes e ?
6. Qual é a distância percorrida pela partícula entre os instantes 0 e 5s?
7. Para que valores de tem-se Para quais valores de tem-se Para quais valores de tem-se
8. Quando a partícula está acelerando ou freando?

Sabemos que a velocidade de um objeto em um determinado instante é o coeficiente angular da reta que é tangente na abscissa ao gráfico da posição s(t) em função do tempo t. Com isso, definimos derivada e esta tem a mesma fórmula que usamos para o cálculo do coeficiente angular. Assim, a derivada da posição é a velocidade (em fórmula, isso fica ).

1. O movimento retilíneo uniforme (MRU) é caracterizado por ser um movimento com velocidade constante. Considerando o instante inicial de movimento como , a posição inicial como e a velocidade como sendo , a fórmula que foi passada na escola para a posição do objeto é . Utilize seu conhecimento recém aprendido de derivada para mostrar que um objeto que possui a equação de movimento tem velocidade em qualquer instante (concluindo que o movimento possui, de fato, velocidade constante).
2. O movimento retilíneo uniforme variado (MRUV) é caracterizado por ser um movimento com aceleração constante (nesse caso a velocidade pode variar, mas de maneira uniforme). Considerando o instante inicial de movimento como , a posição inicial como , a velocidade inicial como sendo e a aceleração como , a fórmula que foi passada na escola para a posição do objeto é e para a velocidade é . Utilize seu conhecimento recém aprendido de derivada para mostrar que um objeto que possui a equação de movimento tem velocidade (concluindo que as fórmulas para o MRUV são válidas).

A Lei de Gravitação de Newton diz que a intensidade da força exercida por um corpo e massa sobre um corpo de massa é

Em que é a constante gravitacional e é a distância entre os corpos. Calcule e explique seu significado. O que o sinal de menos indica?

O número de células de levedura em uma cultura de laboratório aumenta rapidamente no início, mas eventualmente estabiliza. A população é modelada pela função

Em que é medido em horas. No instante a população é de 20 células e está crescendo a uma taxa de . Encontre os valores de e . De acordo com este modelo, o que ocorre com a população de levedura depois de muito tempo?

Derive cada função

(Stewart) Se uma pedra for lançada para cima no planeta Marte, com velocidade de , sua altura em metros, após segundos, é dada por .

a) Encontre a velocidade da pedra após um segundo.

(Stewart) Se uma pedra for lançada para cima no planeta Marte, com velocidade de , sua altura em metros, após segundos, é dada por .

b) Encontre a velocidade da pedra quando .

Se uma pedra for lançada pra cima no planeta Marte com uma velocidade de , sua altura (em metros) depois de segundos é dada por

1. Com que velocidade a pedra atinge a superfície?

17. Devido a sua conexão com retas secante, tangente e taxas instantâneas, os limites da forma

Ocorrem com frequência em cálculo. Avalie os seguintes limites para os valores dados de e a função .

b)

Seja uma função definida em ℝ. Suponha que exista tal que, para todo ,

.

Mostre que é contínua em .

Calcule usando a definição, nos seguintes casos: