Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.8 - Ex. 27
Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
Passo 1
Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá:
E pede pra a gente calcular usando a definição derivada e dizer qual é o domínio de e .
Vamos relembrar a definição de derivada:
Aqui não tem mistério, temos que substituir e calcular. O único ponto de atenção é que, como não podemos calcular direto, se não teremos uma indeterminação! Então vamos ter que dar aquela manipulada no limite pra fugir disso. Beleza?!
Passo 2
Substituindo nossa função:
Podemos multiplicar e dividir pelo conjugado do numerador :
Assim temos:
Cortamos o :
Agora é só calcular o limite:
Prontinho!
Passo 3
Para calcular o domínio de uma função temos que pensar em quais pontos essa função não pode ser calculada, para temos uma raiz, que não pode ser negativa, então:
Sendo assim, .
Vamos ver o da derivada agora:
Aqui temos uma raiz no denominador. A raiz deve ser positiva e o denominador não pode ser igual a zero, então:
E, daí, .