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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 9

Encontre y ' a derivada implícita de (x^2)/(x + y) = y^2 + 1 :

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos y ' por derivação implícita. Logo, vamos derivar os dois lados da equação:

(x^2)/(x + y) = y^2 + 1 (d)/(d x) ((x^2)/(x + y)) = (d)/(d x) (y^2 + 1)

Como estamos derivando em função de x , devemos aplicar a regra da cadeia em y e a regra do quocioente para a fração:

A regra do quociente é dada por :

(d)/(d x) ((f (x))/(g (x))) = (f^' (x) * g (x) - f (x) * g ' ( x ))/([g (x)]^2)

Já a regra da cadeia:

Se y = f (g (x)) e u = g ( x ) , então y = f ( y ) e

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Passo 2

Aplicando:

(((d (x^2))/(d x) * (x + y) - x^2 * ((x + y))/(d x)))/((x + y)^2) = (d (y^2))/(d x) + (d)/(d x) (1)

((x + y) (2 x) - x ² ( 1 + y^' ))/(( x + y ) ²) = 2 y y '

Então, devemos isolar y ' para encontrarmos a derivada implícita de y :

y^' [ 2 y (x^2 + 2 x y + y^2) + x^2 ] = x ( x + 2 y )

y^' = (x ( x + 2 y ))/((2 x^2 y + 4 x y^2 + 2 y^3 + x ²))

Resposta

y^' = (x ( x + 2 y ))/((2 x^2 y + 4 x y^2 + 2 y^3 + x ²))

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