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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 5

Encontre y ' a derivada implícita de x^2 - 4 x y + y^2 = 4 :

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos y ' por derivação implícita. Logo, vamos derivar os dois lados da equação e devemos posteriormente isolar y^' .

x^2 - 4 x y + y^2 = 4 (d)/(d x) (x^2 - 4 x y + y^2) = (d)/(d x) ( 4 )

Passo 2

Como estamos derivando em função de x , devemos aplicar a regra da cadeia em y e a regra do produto no termo x y :

A regra do produto:

(d (u v))/(d x) = u v^' + u^' v

E a regra da cadeia:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

2 x - 4 (y + x y^') + 2 y y^' = 0

2 x - 4 y - 4 x y^' + 2 y y^' = 0

Então, devemos isolar y ' para encontrarmos a derivada implícita de y :

2 x - 4 y + y^' (- 4 x + 2 y) = 0

y^' = (2 y - x)/(- 2 x + y)

Resposta

y^' = (2 y - x)/(- 2 x + y)

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