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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 8

Encontre y ' a derivada implícita de x^3 - x y^2 + y^3 = 1 :

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos y ' por derivação implícita. Logo, vamos derivar os dois lados da equação:

x^3 - x y^2 + y^3 = 1 (d)/(d x) (x^3 - x y^2 + y^3) = (d)/(d x) ( 1 )

Como estamos derivando em função de x , devemos aplicar a regra da cadeia em y e a regra do produto em x y ² .

A regra do produto é dada por :

(d)/(d x) (u v) = u v^' + u^' v

Já a regra da cadeia:

Se y = f (g (x)) e u = g ( x ) , então y = f ( y ) e

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Passo 2

Então, derivando ambos os lados e aplicando a regra da cadeia e do produto:

3 x^(3 - 1) - [(d (x))/(d x) * y^2 + x * (d (y^2))/(d x)] + (d (y^3))/(d y) * (d y)/(d x) = 0

3 x^2 - (y^2 + x 2 y y^') + 3 y ² y ' = 0

3 x^2 - y^2 - 2 x y y^' + 3 y ² y ' = 0

Então, devemos isolar y ' para encontrarmos a derivada implícita de y :

y^' (3 y^2 - 2 x y) = y^2 - 3 x ²

y^' = (y^2 - 3 x ²)/((3 y^2 - 2 x y))

Resposta

y^' = (y^2 - 3 x ²)/((3 y^2 - 2 x y))

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