Encontre y'' por derivação implícita.

x^2 + xy + y^2 = 3

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos a derivada segunda de y em relação a x por derivação implícita. Logo, vamos derivar os dois lados da equação:

x 2 + x y + y 2 = 3 d d x x 2 + x y + y 2 = d d x ( 3 )

Como estamos derivando em função de x , devemos aplicar a regra da cadeia em y :

2 x + 1 y + x y ' + 2 y y ' = 0

Passo 2

Então, devemos isolar y ' para encontrarmos a derivada implícita de y :

2 x + x y ' + y + 2 y y ' = 0 y ' x + 2 y = - 2 x + y y ' = - 2 x + y x + 2 y

Passo 3

Por fim, devemos derivar os dois lados novamente para encontrarmos a derivada seguda. Fica assim:

y ' = - 2 x + y x + 2 y

d d x ( y ' ) = d d x - 2 x + y x + 2 y

Pela regra do quoeficiente, temos:

y ' ' = - 2 + y ' x + 2 y - 2 x + y 1 + 2 y ' x + 2 y 2 y ' ' = - 2 x + 4 y + y ' x + 2 y y ' - 2 x - 4 x y ' - y - 2 y y ' x + y 2 y ' ' = - y ' - 3 x - 3 y ( x + y ) ²

Substituindo y ' :

y ' ' = - - 2 x + y x + 2 y - 3 x - 3 y ( x + y ) ² y ' ' = - 2 x + y - 3 x x + y 2 x + 2 y - 3 y ( x + y ) ²

Resposta

y ' ' = - 2 x + y - 3 x x + y 2 x + 2 y - 3 y ( x + y ) ²

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