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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 36

Encontre y ' ' por derivação implícita.

x^2 + x y + y^2 = 3

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos a derivada segunda de y em relação a x por derivação implícita. Logo, vamos derivar os dois lados da equação:

x^2 + x y + y^2 = 3 (d)/(d x) (x^2 + x y + y^2) = (d)/(d x) ( 3 )

Como estamos derivando em função de x , devemos aplicar a regra da cadeia em y :

2 x + (1 (y) + x y ') + 2 y y ' = 0

Passo 2

Então, devemos isolar y ' para encontrarmos a derivada implícita de y :

2 x + x y^' + y + 2 y y^' = 0 y^' (x + 2 y) = - 2 x + y y^' = - (2 x + y)/(x + 2 y)

Passo 3

Por fim, devemos derivar os dois lados novamente para encontrarmos a derivada seguda. Fica assim:

y^' = - (2 x + y)/(x + 2 y)

(d)/(d x) ( y^' ) = (d)/(d x) (- (2 x + y)/(x + 2 y))

Pela regra do quoeficiente, temos:

y^(' ') = - ([(2 + y^') (x + 2 y) - (2 x + y) (1 + 2 y^')])/((x + 2 y)^2) y^(' ') = - (2 x + 4 y + y^' x + 2 y y^' - 2 x - 4 x y^' - y - 2 y y^')/((x + y)^2) y^(' ') = - (y^' (- 3 x) - 3 y)/(( x + y ) ²)

Substituindo y ' :

y^(' ') = - ((- (2 x + y)/(x + 2 y)) (- 3 x) - 3 y)/(( x + y ) ²) y^(' ') = - ((2 x + y) (- 3 x))/((x + y)^2 (x + 2 y)) - (3 y)/(( x + y ) ²)

Resposta

y^(' ') = - ((2 x + y) (- 3 x))/((x + y)^2 (x + 2 y)) - (3 y)/(( x + y ) ²)

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