Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.5 - Ex. 40
Encontre a equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.
40. Elipse, focos vértice
Passo 1
Oiii, tudo tranquilinho?? Bom... o enunciado quer que encontremos a equação para uma cônica.
Para isso, ele nos dá três condições:
- Trata-se de uma elipse;
- Possui focos em e ;
- Tem vértices em .
Para resolvermos isso, temos que saber do que trata-se uma elipse:
- é o centro da elipse;
- e são seus focos;
- e são as extremidades do eixo horizontal (vértices);
- e são as extremidades do eixo vertical (vértices);
- é a distância entre e ;
- é a distância entre e ;
- é a distância entre e .
Também sabemos que a elipse tem a seguinte equação para quando está centrada na origem e possui vértices na horizontal:
Passo 2
Como os vértices e os focos estão todos na mesma coordenada , sabemos que a elipse foi transladada sobre o eixo .
Além disso, como os vértices e os focos não estão em posições simétricas, a elipse também sofreu translação em .
Fazemos então a diferença entre os valores das coordenadas de cada foco para obtermos a distância e depois dividimos por dois, já que os focos são equidistantes do centro:
O centro então estará em .
E como os focos e os vértices estão no eixo , a equação da elipse será:
Passo 3
A definição dos vértices passará a ser: devido à translação, o que significa que será:
(utilizamos o valor positivo de , pois o vértice dado no enunciado está depois do centro).
Para encontrarmos , precisamos encontrar , pela definição de foco , será:
Pela equação de
será:
Substituindo o valor de e de na equação do Passo 2, teremos a seguinte equação de elipse: