Encontre a equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.

41. Elipse, centro (-1, 4) , vértice (-1, 0) , foco (-1, 6)

Passo 1

Oiii, tudo tranquilinho?? Bom... o enunciado quer que encontremos a equação para uma cônica.

Para isso, ele nos dá três condições:

  1. Trata-se de uma elipse;
  2. Possui focos em 0 ,   - 1 e 8 ,   - 1 ;
  3. Tem vértices em ( 9 ,   - 1 ) .

Para resolvermos isso, temos que saber do que trata-se uma elipse:

  • O é o centro da elipse;
  • F 1 e F 2 são seus focos;
  • A 1 e A 2 são as extremidades do eixo horizontal (vértices);
  • B 1 e B 2 são as extremidades do eixo vertical (vértices);
  • 2 b é a distância entre B 1 e B 2 ;
  • 2 c é a distância entre F 1 e F 2 ;
  • 2 a é a distância entre A 1 e A 2 .

Também sabemos que a elipse tem a seguinte equação para quando está centrada na origem e possui vértices na horizontal:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Masss, pelo que nos foi dado no enunciado, sabemos que os focos e os vértices pertencem ao eixo y .

Assim, portanto, a elipse será do seguinte tipo:

y 2 a 2 + x 2 b 2 = 1

Passo 2

Como o centro não está na origem, sabemos que a elipse está transladada, pela definição do vértice - 1 ,   ± a + 4 , podemos encontrar a :

- a + 4 = 0 ∴

a = 4

Pegamos o valor negativo de a , pois o vértice se encontra abaixo do centro.

Como o vértice e o foco estão no mesmo eixo paralelo ao eixo y , equação da elipse terá a seguinte forma:

( y - 4 ) 2 16 + ( x + 1 ) 2 b 2 = 1

Passo 3

Para encontrarmos b 2 , vamos utilizar a definição do foco ( - 1 ,   ± c + 4 ) , para acharmos c :

c + 4 = 6 ∴

c = 2

E pela equação de c :

c 2 = a 2 - b 2

Podemos calcular b 2 :

4 = 16 - b 2 ∴

b 2 = 12

Substituindo na equação da elipse:

( y - 4 ) 2 16 + ( x + 1 ) 2 12 = 1

Resposta

( y - 4 ) 2 16 + ( x + 1 ) 2 12 = 1

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