Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 115
Encontre as equações para as retas que sejam tangente e normais à curva no ponto dado.
Passo 1
Para encontrarmo a reta tangente e a reta normal, precisamos da derivada no ponto que ele deu.
A equação da reta tangente vai ser:
Onde vai ser a derivada naquele ponto que ele deu.
A reta normal vai ser
Onde essa reta é perpendicular À reta tangente, então
Tudo se resume a achar a maldita da derivada.
Mas antes de qualquer coisa, vamos verificar que o ponto de fato está na curva. Porque se não estiver a conta fica levemente grande.
Subistuindo:
Ufa, deu igual dos dois lados. Vamos para a derivada implícita agora
Passo 2
Para acharmos essa derivada, temos que derivar cada lado da equação que ele deu no enunciado. E fazere a derivada implícita, lembrando que:
Então quando derivarmos , temos que colocar = junto. Porque é a regra da cadeia.
Começando com ,
Primeiro, vamos colocar:
Agora para a derivada:
Para aquele primeiro termo, devemos fazer a regra do produto:
Não podemos esquecer o quando derivamos o
O lado esquerdo vai ficar:
Passo 3
Vamos para o outro lado
Dessa forma vamos ter, na nossa equação:
Vamos isolar o
Vamos passar o dividindo para o outro lado.
Juntando as potências de e depois as de
Passo 4
Agora que temos a derivada, vamos achar o valor de da equação da tangente e de da reta normal.
Assim:
E
Vamos aos outros coeficientes das duas retas
Passo 5
Reta tangente:
Reta normal:
Ambas passam no ponto , então basta fazermos:
Começando na tangente:
Agora na normal:
AS retas ficam:
Reta tangente:
Reta normal:
Resposta
Reta tangente:
Reta normal: