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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 22

22) Ache uma equação da reta tangente à curva y = 3 x 2 - 4 que é paralela à reta 3 x + y = 4 .

Passo 1

Primeiramente iremos calcular a inclinação da reta tangente. Para isso utilizamos a seguinte definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 1 + ∆ x - f ( x 1 ) ∆ x

Assumindo que f x = 3 x 2 - 4 , temos:

f x 1 + ∆ x = 3 x 1 + ∆ x 2 - 3 e

f x 1 = 3 x 1 2 - 4

Logo, aplicando na definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ 3 x 1 + ∆ x 2 - 4 - 3 x 1 2 - 4 ∆ x

Desenvolvendo o produto notável e simplificando, temos:

m x 1 = 6 x 1

Passo 2

Agora é preciso lembrar que retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular. Então descobrimos o coeficiente angular da reta fornecida no enunciado colocando-a no formato de equação reduzida.

3 x + y = 4 .

y = 4 - 3 x

O seu coeficiente angular é   m = - 3

Passo 3

Agora igualamos os coeficientes angulares e descobrimos o ponto de tangência:

6 x 1 = - 3

x 1 = - 1 2

Substituindo na função descobrimos o valor de y.

y = 3 x 2 - 4

y = 3 ( - 1 2 ) 2 - 4

y = - 13 4

Portanto:

( - 1 2 , - 13 4 )

Passo 4

Agora para encontrarmos a equação da reta tangente no ponto dado, utilizamos a equação fundamental da reta:

y - y p = m . ( x - x p )

Substituindo o coeficiente angular e o ponto dado, temos:

y + 13 4 = - 3 . x + 1 2

Colocando no formato de equação geral da reta, temos:

12 x + 4 y + 19 = 0

Resposta

Equação da reta tangente:

12 x + 4 y + 19 = 0

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