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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 23

23) Ache uma equação da reta tangente à curva y = 2 - 1 3 x 2 que é perpendicular à reta x - y = 0 .

Passo 1

Primeiramente iremos calcular a inclinação da reta tangente. Para isso utilizamos a seguinte definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 1 + ∆ x - f ( x 1 ) ∆ x

Assumindo que f x = 2 - 1 3 x 2 , temos:

f x 1 + ∆ x = 2 - 1 3 x 1 + ∆ x 2 e

f x 1 = 2 - 1 3 x 1 2

Logo, aplicando na definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ 2 - 1 3 x 1 + ∆ x 2 - 2 - 1 3 x 1 2 ∆ x

Desenvolvendo o produto notável e simplificando, temos:

m x 1 = - 2 3 x

Passo 2

Agora é preciso lembrar que retas perpendiculares possuem coeficientes angulares inversos e opostos. Então descobrimos o coeficiente angular da reta fornecida no enunciado colocando-a no formato de equação reduzida.

x - y = 0

y = x

O seu coeficiente angular é   m = 1

Logo o da reta tangente a curva será: m = - 1

Passo 3

Agora igualamos os coeficientes angulares e descobrimos o ponto de tangência:

- 2 3 x 1 = - 1

x 1 = 3 2

Substituindo na função descobrimos o valor de y.

y = 2 - 1 3 x 2

y = 2 - 1 3 ( 3 2 ) 2

y = 5 4

Portanto:

( 3 2 , 5 4 )

Passo 4

Agora para encontrarmos a equação da reta tangente no ponto dado, utilizamos a equação fundamental da reta:

y - y p = m . ( x - x p )

Substituindo o coeficiente angular e o ponto dado, temos:

y - 5 4 = - 1 . x - 3 2

Colocando no formato de equação geral da reta, temos:

4 x + 4 y - 11 = 0

Resposta

Equação da reta tangente:

4 x + 4 y - 11 = 0

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