Encontre uma formula explicita para f^(-1) e use-a para fazer na mesma tela um gráfico f^(-1) , f e da reta y = x . Para verificar seu trabalho, veja se os gráficos de f e f^(-1) são reflexões em torno da reta.

f(x) = 1 + e^(-x)

Passo 1

Belezinha, pessoal. O enunciado da questão pede pra encontrarmos a inversa dessa função aqui:

f x = 1 + e - x

Pra fazermos isso, precisamos encontrar uma maneira de escrever x como uma função de y . Isso significa que precisamos isolar o x .

Vamos ver direitinho como fazer isso.

Passo 2

Vamos lá! Pra facilitar um pouco a vida, vamos escrever y no lugar de f x :

f x = y = 1 + e - x

Vamos que o x aparece apenas uma vez em toda a expressão, então vamos tentar isolar esse termo diretamente:

y = 1 + e - x → e - x = y - 1

E agora? Como fazemos pra retirar aquele x do expoente? Basta aplicarmos logaritmo dos dois lados da equação:

ln ⁡ e - x = ln ⁡ y - 1 →

→   - x =   ln ⁡ y - 1

Por fim, temos que:

x = - ln ⁡ y - 1

Pra fechar, vamos só chamar x de f - 1 ( x ) e y de x :

f - 1 x = - ln ⁡ x - 1

Passo 3

Agora, só precisamos usar uma calculadora gráfica pra traçamos o gráfico da função dada, da inversa que encontramos e da reta y = x .

Olha só como fica:

Resposta

f - 1 x = - ln ⁡ x - 1

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