Enunciado

f x = 1 2 x 4 - 4 x 2 + 3

(a) Encontre os intervalos crescentes e decrescentes.

(b) Encontre os valores do máximo e mínimo.

(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(d) Use a informação das partes (a)-(c) para esboçar um gráfico. Confira seu esboço com um gráfico de software.

Passo 1

E aí! como vai?

Nesse problema foi dada a função

f x = 1 2 x 4 - 4 x 2 + 3

e nosso objetivo é encontrar os intervalos onde a função é crescente e decrescente, os valores de máximos e mínimos, os intervalos de concavidade, os pontos de inflexão e esboçar o gráfico da função a partir das informações que obtemos.

Bastante coisa, não é?

Para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento da função, vamos calcular sua derivada e como a inclinação da função está relacionada diretamente com sua derivada:

  • Quando f ' > 0 a função é crescente e quando f ' < 0 a função é decrescente.
  • Para calcular os máximos e mínimo vamos calcular os pontos críticos fazendo f ' = 0 e a partir da análise dos intervalos de crescimento e decrescimento podemos dizer qual é máximo e qual é mínimo ou podemos usar o teste da segunda derivada...

  • Se f ' ' > 0 , o ponto é de mínimo e se f ' ' < 0 , o ponto é de máximo.
  • Os intervalos de concavidade são obtidos pela segunda derivada da função...

  • Quando f ' ' > 0 a concavidade é para cima e quando f ' ' < 0 a concavidade é para baixo.

Já os pontos de inflexão são obtidos onde f ' ' = 0 .

Bora começar!

Passo 2

Então vamos começar derivando a função pela regra da potência

f x = 1 2 x 4 - 4 x 2 + 3 → f ' x = 4 1 2 x 4 - 1 - 2 4 x 2 - 1 + 3 0

f ' x = 2 x 3 - 8 x

Fatorando este resultado vamos poder analisar o sinal de maneira mais fácil...

f ' x = 2 x x 2 - 4

f ' x = 2 x ( x - 2 ) ( x + 2 )

Fazendo f ' = 0 para encontrar os pontos críticos, temos que x = 0 , x = 2 e x = - 2 são os pontos que zeram essa função, logo esses são os pontos críticos...

Agora vamos analisar quando vão ocorrer mudanças de sinal. Uma dica é prestar atenção nos intervalos entre os pontos críticos.

Para - ∞ < x < - 2 , temos que 2 x < 0 , x - 2 < 0 e x + 2 < 0 , então

f ' x < 0 ,     - ∞ < x < - 2

Para - 2 < x < 0 , temos que 2 x < 0 , x - 2 < 0 e x + 2 > 0 , ou seja

f ' x > 0 ,     - 2 < x < 0

E para 0 < x < 2 , temos que 2 x > 0 , x - 2 < 0 e x + 2 > 0 , dessa forma

f ' x < 0 ,     0 < x < 2

E por fim, para 2 < x < ∞ , temos que 2 x > 0 , x - 2 > 0 e x + 2 > 0 , logo

f ' x > 0 ,     2 < x < ∞

Portanto, se f ' > 0 a função é crescente e f ' < 0 a função é decrescente, então

f é crescente para x em - 2 ,   0 e ( 2 , ∞ ) .

f é decrescente para x em - ∞ ,   - 2 e 0 ,   2 .

Show?

Passo 3

Para encontrar os valores de máximos e mínimos da função, vamos então encontrar a segunda derivada, derivando f '

f ' x = 2 x 3 - 8 x → f ' ' x = 3 2 x 3 - 1 - 8 x 1 - 1

f ' ' x = 6 x 2 - 8

Fatorando o resultado:

f ' ' x = 6 x 2 - 4 3

f ' ' x = 6 x + 2 3 x - 2 3

Da letra (a), temos que f ' x = 0 nos pontos x = 0 , x = 2 e x = - 2 .

Vamos utilizar estes pontos críticos em f ' ' e ver o sinal:

Para x = 0

f ' ' 0 = 6 0 + 2 3 0 - 2 3 = - 8

Assim, como f ' ' < 0 , o ponto x = 0 é um ponto de máximo.

Para x = 2

f ' ' 2 = 6 2 + 2 3 2 - 2 3 = 16

Logo, como f ' ' > 0 , x = 2 é um ponto de m��nimo.

E por último, para x = - 2

f ' ' - 2 = 6 - 2 + 2 3 - 2 - 2 3 = 16

Então x = - 2 tambem é um ponto de mínimo.

Agora vamos voltar para a função f para ver os valores associados:

f 0 = 3 → l o c a l   d e   m a x i m o

f ± 2 = - 5 → l o c a i s   d e   m i n i m o

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Para descobrir a concavidade, temos que olhar para os intervalos da segunda derivada...

Vamos fazer a mesma análise que fizemos no passo 2...

f ' ' x = 6 x + 2 3 x - 2 3

Então checando nos intervalos próximos das raízes:

Para - ∞ < x < - 2 3 , o termo x + 2 3 < 0 e x - 2 3 < 0 , então

f ' ' x > 0

E, portanto, nesse intervalo a concavidade é voltada para cima...

Para - 2 3 < x < 2 3 , o termo x + 2 3 > 0 e x - 2 3 < 0 , então

f ' ' x < 0

Assim, nesse intervalo a função tem uma concavidade voltada para baixo

E para 2 3 < x < ∞ , o termo x + 2 3 > 0 e x - 2 3 > 0 , com isso

f ' ' x > 0

Portanto, nesse intervalo f possui outra concavidade voltada para cima.

Estamos quase no fim!

Passo 5

Os pontos de inflexão ocorrem quando f ' ' x = 0 , ou seja

f ' ' x = 6 x + 2 3 x - 2 3 = 0

Para essa igualdade ser satisfeita, x tem que ser - 2 3 ou 2 3 pois nesses pontos x + 2 3 e x - 2 3 zeram respectivamente.

Está acompanhando?

Passo 6

Agora temos que condensar tudo que encontramos até aqui para esboçar o gráfico de f .

Bom... f possui um ponto de máximo local em f 0 = 3 e dois pontos de mínimos locais em f - 2 = f 2 = - 5 .

Além disso, nos intervalos - ∞ < x < - 2 3 e 2 3 < x < ∞ a função possui concavidade voltada para cima e no intervalo - 2 3 < x < 2 3 a concavidade é voltada para baixo.

A função f possui dois pontos de inflexão, um em x = - 2 3 e outro em x = 2 3 , que é onde a função muda de concavidade.

Traçando o gráfico da função, temos:

E fim! O que achou? Responde Aí!

Resposta

(a)

  f   é   c r e s c e n t e   p a r a   x   e m   - 2 ,   0   e   ( 2 , ∞ )

f   é   d e c r e s c e n t e   p a r a   x   e m   - ∞ ,   - 2   e   ( 0 ,   2 )

(b) f 0 = 3 → l o c a l   d e   m a x i m o

f ± 2 = - 5 → l o c a i s   d e   m i n i m o

(c) - ∞ , - 2 3   e   2 3 ,   ∞ → c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

- 2 3 ,   2 3 → c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

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