Encontre o limite. Use a regra de l’Hopital quando apropriado. Caso exista mais um método mais comum, use-o. Caso a regra de l’Hopital não se aplique, explique o porque.

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 tan - 1 ⁡ x

Passo 1

Bom pessoal, nessa questão temos que resolver o seguinte limite?

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 tan - 1 ⁡ x

E podemos aplicar a regra de L’hospital se for o caso.

Para pode aplicar a regra de l’Hopital, devemos ter uma indeterminação, isto é, um resultado do tipo 0 0 ou do tipo ± ∞ ∞ .

Se isso acontecer, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então tentar resolver o limite.

Aparentemente, este método não se aplica neste limite. Mas podemos juntar as duas frações.

Passo 2

Resolvendo a subtração de frações, temos:

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 tan - 1 ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ tan - 1 ⁡ x - x x tan - 1 ⁡ x

Agora, se substituirmos o valor do limite vamos ter que:

lim x → 0 + ⁡ tan - 1 ⁡ 0 - 0 0 tan - 1 ⁡ 0 = 0 0

Vamos usar então o teorema de l’Hopital, isto é, deriva em cima e deriva embaixo.

Vamos começar derivando o numerador. A derivada do arcotangente ( tan - 1 ⁡ x é tabelada e vale 1 x 2 + 1 ).

tan - 1 ⁡ x - x ' = 1 x 2 + 1 - 1

Para o denominador vamos aplicar uma regra do produto:

u v ' = u ' v + u v '

No nosso caso, teremos:

x tan - 1 ⁡ x ' = tan - 1 ⁡ x + x 1 x 2 + 1

Juntando o numerador e o denominador, temos:

l i m x → 0 +   1 x 2 + 1 - 1 tan - 1 ⁡ x + x x 2 + 1 = l i m x → 0 +   - x 2 ( x 2 + 1 ) tan - 1 ⁡ x + x

Se você substituir o limite nesse caso, terá:

l i m x → 0 +   - 0 2 ( 0 2 + 1 ) tan - 1 ⁡ 0 + 0 = 0 0

Pode-se ver que foi mantida a indeterminação. Você pode tentar aplicar L’hospital novamente, mas eu vou seguir por um caminho alternativo aqui:

Passo 3

Uma forma de retirar a indeterminação é dividir em cima e embaixo por x 2 .

l i m x → 0 +   - x 2 / x 2 x 2 + 1 x 2 tan - 1 ⁡ x + x x 2 = l i m x → 0 +   - 1 ( 1 + 1 x 2 ) tan - 1 ⁡ x + 1 x

Substituindo o limite:

l i m x → 0 +   - 1 ( 1 + 1 0 2 ) tan - 1 ⁡ 0 + 1 0 = - 1 ∞ = 0

Resposta

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 tan - 1 ⁡ x = 0

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