Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 54
Encontre o limite. Use a regra de l’Hopital quando apropriado. Caso exista mais um método mais comum, use-o. Caso a regra de l’Hopital não se aplique, explique o porque.
Passo 1
Bom pessoal, nessa questão temos que resolver o seguinte limite?
E podemos aplicar a regra de L’hospital se for o caso.
Para pode aplicar a regra de l’Hopital, devemos ter uma indeterminação, isto é, um resultado do tipo ou do tipo.
Se isso acontecer, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então tentar resolver o limite.
Aparentemente, este método não se aplica neste limite. Mas podemos juntar as duas frações.
Passo 2
Resolvendo a subtração de frações, temos:
Agora, se substituirmos o valor do limite vamos ter que:
Vamos usar então o teorema de l’Hopital, isto é, deriva em cima e deriva embaixo.
Vamos começar derivando o numerador. A derivada do arcotangente ( é tabelada e vale ).
Para o denominador vamos aplicar uma regra do produto:
No nosso caso, teremos:
Juntando o numerador e o denominador, temos:
Se você substituir o limite nesse caso, terá:
Pode-se ver que foi mantida a indeterminação. Você pode tentar aplicar L’hospital novamente, mas eu vou seguir por um caminho alternativo aqui:
Passo 3
Uma forma de retirar a indeterminação é dividir em cima e embaixo por .
Substituindo o limite: