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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.2 - Ex. 14

Encontre os limites.

14. underset(t -> 1)(lim) (t^3 + t^2 - 5 t + 3)/(t^3 - 3 t + 2)

Passo 1

Pra realizarmos o cálculo de um limite, basta que apliquemos no lugar de x o valor ao qual ele tende. Mas, apesar de parecer fácil a execução, algumas vezes a gente não pode fazer isso diretamente.

Em alguns casos, se substituímos direto x pelo valor ao qual ele tende, podemos chegar às inconsistências/indeterminações matemáticas do tipo (0)/(0) , (oo)/(oo) , (oo)/(0) e (0)/(oo) .

Esses casos requerem uma alteração na forma como a função do limite está escrita, por meio de simplificações algébricas que equivalerão à função da forma inicial.

Não existindo esse tipo de problema, apenas aplicamos o valor em x e calculamos o limite normalmente!

Passo 2

Pra esse limite, se aplicamos 2 direto em t, chegamos à indeterminação (0)/(0) . Logo, precisamos trabalhar na função pra torná-la possível de ter o limite calculado.

Pra esse caso, podemos fatorar o numerador, por produtos notáveis, até chegarmos a uma parcela igual à do denominador, e cancelá-la!

Passo 3

underset(t -> 1)(lim) (t^3 + t^2 - 5 t + 3)/(t^3 - 3 t + 2) =

Aqui, a opção é fazer a decomposição dos polinômios de 3º grau, por Briot-Ruffini, em termos mais simples!

underset(t -> 1)(lim) (( t - 1 ) ( t^2 + 2 t - 3 ))/(( t - 1 ) ( t^2 + t - 2 )) = underset(t -> 1)(lim) (( t^2 + 2 t - 3 ))/(( t^2 + t - 2 ))

E, ainda assim, temos a indeterminação (0)/(0) com essa simplificação. Dessa forma, só precisamos aplicar novamente a técnica de fatoração! Teremos:

underset(t -> 1)(lim) (( t^2 + 2 t - 3 ))/(( t^2 + t - 2 )) = underset(t -> 1)(lim) (( t - 1 ) ( t + 3 ))/(( t - 1 ) ( t + 2 )) =

underset(t -> 1)(lim) (( t + 3 ))/(( t + 2 )) =

= (1 + 3)/(1 + 2) = (4)/(3)

Resposta

underset(t -> 1)(lim) (t^3 + t^2 - 5 t + 3)/(t^3 - 3 t + 2) = (4)/(3)

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