Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 38
Encontre todos os valores de para os quais todas as soluções de
tendem a zero quando .
Passo 1
Fala Galera!!
Nos foi dado a seguinte equação diferencial:
Para resolver essa questão, vamos supor que seja solução da equação diferencial.
Passo 2
Pela suposição feita no passo anterior, precisamos encontrar e para substituir na equação. Temos que:
Então
Substituindo na equação diferencial, temos a seguinte expressão:
Simplificando
Temos que , então, para que a equação acima seja satisfeita, precisamos que
Por Bhaskara, temos o seguinte:
Passo 3
Pela equação acima para encontrar , podemos perceber que surgem 3 casos.
Caso (1)
Assim, temos que a inequação acima só satisfeita quando:
Neste caso, as raízes são complexas e temos que:
E a solução da equação diferencial é dada pela equação 27
Onde
Substituindo o resultado encontrado, temos o seguinte:
Como as funções trigonométricas são limitadas, para que , precisamos quando . Logo, precisamos que:
Assim, temos que para esse caso, .
Passo 4
Caso (2)
Neste caso, as raízes são reais e iguais e temos que:
E a solução da equação diferencial é dada pela equação 26
Substituindo o resultado encontrado, temos o seguinte:
Para que , precisamos quando . Logo, precisamos que:
Assim, temos que para esse caso, .
Passo 5
Caso (3)
Assim, temos que a inequação acima só satisfeita quando:
Neste caso, as raízes são reais e diferentes e a solução da equação diferencial é dada pela equação 25
Substituindo o resultado encontrado, temos o seguinte:
Para que , precisamos e que quando . Logo, precisamos que:
E
Rescrevendo
Como foi considerado maior que zero, precisamos que:
Assim, temos que para esse caso, .