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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 14

Encontre d y d x e d 2 y d x 2 . Para quais valores de t a curva é côncava para cima?

x = t + ln ⁡ t

y = t - ln ⁡ t

Passo 1

Olá, meu amigo. Pronto para resolver essa atividade de derivadas?

Temos uma curva parametrizada dada por:

x = t + ln ⁡ t

y = t - ln ⁡ t

E queremos então encontrar a primeira derivada e a segunda derivada dessa parametrização.

A derivada primeira da curva é dada por:

d y d x = d y d t d x d t

Assim, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t e substituir nessa fórmula.

Agora para calcular a derivada segunda, temos que fazer:

d 2 y d x 2 = d d x d y d x

d 2 y d x 2 = d d t d y d x d x d t

Que é a derivação da primeira derivada que iremos encontrar. Após encontrarmos a nossa segunda derivada poderemos dizer se a curva é concava para cima ou para baixo.

A curva é concava para cima quando:

d 2 y d x 2 > 0

E concava para baixo quando:

d 2 y d x 2 < 0

Passo 2

Vamos começar pela derivada de y :

y = t - ln ⁡ t

d y d t = 1 - 1 t

Realizando o mmc:

d y d t = t - 1 t

Agora a derivada de x :

x = t + ln ⁡ t

d x d t = 1 + 1 t

d x d t = 1 + t t

Substituindo na fórmula:

d y d x = d y d t d x d t = t - 1 t t + 1 t

Agora a gente organiza essa divisão de frações:

d y d x = t - 1 t ∙ t t + 1

d y d x = t - 1 t + 1

Passo 3

Agora para calcular a derivada segunda, temos que fazer:

d 2 y d x 2 = d d x d y d x = d t d x d d t d y d x = d d t d y d x d x d t

Então, vamos pegar a derivada d y d x e derivar em relação a t e depois a gente substituiu aí, porque a derivada de x em relação a t nós já temos:

d y d x = t - 1 t + 1

Usando a regra do quociente:

d d t d y d x = 1 t + 1 - 1 t - 1 t + 1 2

d d t d y d x = t + 1 - t + 1 t + 1 2

d d t d y d x = 2 t + 1 2

Passo 4

Já temos tudo, então agora é só substituir:

d 2 y d x 2 = d d t d y d x d x d t

d 2 y d x 2 = 2 t + 1 2 t + 1 t

Organizando a divisão de frações:

d 2 y d x 2 = 2 t + 1 2 t t + 1  

Temos então:

d 2 y d x 2 = 2 t t + 1 3

Passo 5

Para descobrir para quais valores de t a curva é côncava para cima, temos que ter

d 2 y d x 2 = 2 t t + 1 3 > 0

O numerador é positivo se t > 0 e negativo se t < 0 , enquanto o denominador é positivo se t > - 1 e negativo se t < - 1 .

Essa expressão será positiva quando o numerador e o denominador tiverem sinais iguais.

Isso acontece quando t > 0 ou t < - 1 .

Então podemos concluir que a concavidade da curva é para cima quando t < - 1   ou   t > 0 .

Resposta

d y d x = t - 1 t + 1

d 2 y d x 2 = 2 t t + 1 3

A concavidade da curva é para cima quando t < - 1   o u   t > 0 .

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