Encontre dy / dx e \(\frac{d^2 y}{d^2 x}\) . Para quais valores de t a curva é côncava para cima?

x = 4 + t^2

y = t^2 + t^3

Passo 1

Olá, meu amigo. Pronto para resolver essa atividade de derivadas?

Temos uma curva parametrizada dada por:

x = 4 + t 2

y = t 2 + t 3

E queremos então encontrar a primeira derivada e a segunda derivada dessa parametrização.

A derivada primeira da curva é dada por:

d y d x = d y d t d x d t

Assim, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t e substituir nessa fórmula.

Agora para calcular a derivada segunda, temos que fazer:

d 2 y d x 2 = d d x d y d x

d 2 y d x 2 = d d t d y d x d x d t

Que é a derivação da primeira derivada que iremos encontrar. Após encontrarmos a nossa segunda derivada poderemos dizer se a curva é concava para cima ou para baixo.

A curva é concava para cima quando:

d 2 y d x 2 > 0

E concava para baixo quando:

d 2 y d x 2 < 0

Passo 2

Vamos começar pela derivada de y :

y = t 2 + t 3

d y d t = 2 t + 3 t 2

Agora a derivada de x :

x = 4 + t 2

d x d t = 2 t

Substituindo na fórmula

d y d x = d y d t d x d t = 2 t + 3 t 2 2 t

d y d x = 1 + 3 2 t

Passo 3

Agora para calcular a derivada segunda, temos que fazer:

d 2 y d x 2 = d d x d y d x = d d t d y d x d x d t

Então, vamos pegar a derivada d y d x e derivar em relação a t e depois a gente substituiu aí, porque a derivada de x em relação a t nós já temos.

d y d x = 1 + 3 2 t

Substituindo na relação para o cálculo da segunda derivada:

d d t d y d x = 3 2

Passo 4

Já temos tudo, então agora é só substituir:

d 2 y d x 2 = d d t d y d x d x d t = 3 2 2 t

d 2 y d x 2 = 3 4 t

Passo 5

Para descobrir para quais valores de t a curva é côncava para cima, precisamos fazer:

d 2 y d x 2 = 3 4 t > 0

Como temos t a derivada segunda será positiva quando t > 0 , então a nossa curva será concava para t > 0 .

Resposta

d y d x = 1 + 3 2 t

d 2 y d x 2 = 3 4 t

A concavidade é para cima quando t > 0 .

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