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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.1 - Ex. 5

Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y " + y = s i n ⁡   x ?

  1. y = sin ⁡ x
  2. y = cos ⁡ x
  3. y = 1 2 x sin ⁡ x
  4. y = - 1 2 x cos ⁡ x

Passo 1

  1. Queremos ver se y = sin ⁡ x é solução da equação y " + y = s i n ⁡   x . Então vamos derivar y e aplicar na equação.

    2. y = sin ⁡ x

    y ' = cos ⁡ x

    y " = - s i n ⁡   x

    y " + y = s i n ⁡   x

    - sin ⁡ x + sin ⁡ x = sin ⁡ x

    - sin ⁡ x = 0

    Repara que não chegamos num “0=0”, então y = sin ⁡ x não é solução.

    Passo 2

  2. Agora queremos verificar se y = cos ⁡ x é solução da equação y " + y = s i n ⁡   x . Assim como no item (a), vamos derivar y e substituir na equação.

    3. y = cos ⁡ x

    y ' = - sin ⁡ x

    y " = - c o s ⁡   x

    y " + y = s i n ⁡   x

    - cos ⁡ x + cos ⁡ x = sin ⁡ x

    0 = sin ⁡ x

    Não é solução.

    Passo 3

  3. Precisamos descobrir se y = 1 2 x sin ⁡ x é solução da equação diferencial y " + y = s i n ⁡   x .

    4. y = 1 2 x sin ⁡ x

    y ' = 1 2 x cos ⁡ x + sin ⁡ x

    y " = 1 2 - x sin ⁡ x + cos ⁡ x + cos ⁡ x

    Substituindo...

    y " + y = s i n ⁡   x

    1 2 - x sin ⁡ x + cos ⁡ x + cos ⁡ x + 1 2 x sin ⁡ x = sin ⁡ x

    - 1 2 x sin ⁡ x + 1 2 cos ⁡ x + 1 2 cos ⁡ x + 1 2 x sin ⁡ x = sin ⁡ x

    cos ⁡ x = sin ⁡ x

    Essa foi quaseee, mas não é também.

    Passo 4

  4. Queremos saber se y = - 1 2 x cos ⁡ x é solução da equação diferencial y " + y = s i n ⁡   x . Assim, podemos fazer da mesma maneira que nos outros itens.

y = - 1 2 x cos ⁡ x

y ' = - 1 2 - x sin ⁡ x + cos ⁡ x  

y ' ' = - 1 2 - x cos ⁡ x - sin ⁡ x - sin ⁡ x  

Substituindo...

y " + y = s i n ⁡   x

- 1 2 - x cos ⁡ x - sin ⁡ x - sin ⁡ x - 1 2 x cos ⁡ x = sin ⁡ x

1 2 x cos ⁡ x + 1 2 sin ⁡ x + 1 2 sin ⁡ x - 1 2 x cos ⁡ x = sin ⁡ x

sin ⁡ x = sin ⁡ x

0 = 0

Ufaa... essa, sim, é solução.

Resposta

(d)

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