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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.5 - Ex. 2

Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce seu gráfico.

2. 4 y + x 2 = 0

Passo 1

Nessa questão, nós temos uma parábola de equação 4 y + x 2 = 0 e precisamos encontrar seu vértice, foco e diretriz. Vamos começar reescrevendo a equação da seguinte forma:

x 2 = - 4 y

Lembre que a fórmula geral de uma parábola é ( x - h ) 2 = 4 p ( y - k ) , e que seu foco é da forma f = ( 0 , p )

Disso tiramos que 4 p =   - 4 , então p = - 1

O foco da parábola será f = 0 , - 1

Passo 2

A diretriz de uma parábola pode ser encontrada fazendo y = - p , portanto: y =   1 é nossa diretriz.

Passo 3

Agora olhando novamente para a fórmula geral ( x - h ) 2 = 4 p ( y - k ) ,   percebemos que k = 0   e     h = 0 . O vértice de uma parábola pode ser descrito como V = h , k , então nosso vértice é V = ( 0,0 )

Passo 4

Agora que já temos todas essas informações podemos fazer um esboço do gráfico, note que como o termo que está ao quadrado é x , essa é uma parábola no eixo X , e como o sinal na frente de 4 y é negativo, quer dizer que sua concavidade é para baixo, o gráfico fica assim:

Resposta

V = ( 0,0 )

f = 0 , - 1

Diretriz: y =   1

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