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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.5 - Ex. 7

Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce seu gráfico.

7. y 2 + 2 y + 12 x + 25 = 0

Passo 1

Nessa questão, nós temos uma parábola de equação   y 2 + 2 y + 12 x + 25 = 0 e precisamos encontrar seu vértice, foco e diretriz. Vamos primeiro reescrever essa equação da seguinte forma:

y 2 + 2 y + 12 x + 25 = 0

y 2 + 2 y + 1 - 1 + 12 x + 25 = 0

y + 1 2 + 12 x + 24 = 0

y + 1 2 + 12 ( x + 2 ) = 0

y + 1 2 = - 12 ( x + 2 )

Lembre que a fórmula geral de uma parábola é ( y - k ) 2 = 4 p ( x - h ) , e que seu foco é da forma f = ( p + h ,   k ) .

Nesse caso k = - 1 ,     h = - 2

4 p = - 1 2 , então p = - 3

O foco da parábola será f = - 5 ,   - 1  

Passo 2

A diretriz de uma parábola pode ser encontrada fazendo x = - p + h , portanto: x =   1 é nossa diretriz.

Passo 3

Agora olhando novamente para a fórmula geral ( y - k ) 2 = 4 p ( x - h ) , percebemos que k = - 1   e     h = - 2 . O vértice de uma parábola pode ser descrito como V = h , k , então nosso vértice é V = ( - 2 , - 1 )

Passo 4

Agora que já temos todas essas informações podemos fazer um esboço do gráfico. Veja que como o termo que está ao quadrado é y , essa é uma parábola no eixo Y , , o gráfico fica assim:

Resposta

V = ( - 2 , - 1 )

f = ( - 5 , - 1 )

Diretriz: x =   1

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