Resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t cresce.
Passo 1
Primeiro temos que encontrar as raízes da equação usando a fórmula de Bhaskara. Vamos transformar essa equação em uma equação do 2º grau. Então passa a ser , a ser , e é o termo independente.
Sendo: .
Então para encontrar o usamos a fórmula de Bhaskara.
Importante!!!
- Se o resultado do , teremos 2 raízes reais diferentes, e a equação característica vai ser:
- Se o resultado do , teremos 2 raízes reais iguais, e a equação característica vai ser:
- Se o resultado do , teremos 2 raízes complexas, e a equação característica vai ser:
Com isso em mãos vamos substituir na fórmula de Bháskara:
Passo 2
Como a solução é:
Substituindo os valores das raízes:
Passo 3
Agora vamos descobrir o valor das constantes através do valor inicial dado. Temos que:
Assim:
Dessa forma:
E:
Resolvendo o sistema:
Dessa forma, a solução geral fica:
Resposta
A solução geral é: