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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 14

Resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t cresce.

y ' ' + 4 y ' + 4 y = 0 ,     y - 1 = 2 ,                       y ' - 1 = 1 .

Passo 1

Primeiro temos que encontrar as raízes da equação usando a fórmula de Bhaskara. Vamos transformar essa equação em uma equação do 2º grau. Então y ' ' passa a ser x 2 , y ' p a s s a a ser x , e y é o termo independente.

x 2 + 4 x + 4 = 0

Sendo: a = 1 ,   b = 4 ,   c = 4 .

Então para encontrar o ∆ usamos a fórmula de Bhaskara.

Importante!!!

  • Se o resultado do ∆ > 0 , teremos 2 raízes reais diferentes, e a equação característica vai ser:

    • y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos 2 raízes reais iguais, e a equação característica vai ser:

    • y = C 1 e r 1 x + C 2 t e r 2 x

  • Se o resultado do ∆ < 0 , teremos 2 raízes complexas, e a equação característica vai ser:

y = e α   x   ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sen ⁡ β x )

Com isso em mãos vamos substituir na fórmula de Bháskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

x = - 4 ± 4 2 - 4 . 1.4 2 . 1

x = - 4 ± 16 - 16 2.1

x = - 4 ± 0 2

x = - 4 ± 0 2

x ' = - 4 + 0 2 = - 2 ,     x ' ' = - 4 - 0 2 = - 2

Passo 2

Como ∆ = 0 , a solução é:

y = C 1 e r 1 x + C 2 t e r 2 x

Substituindo os valores das raízes:

y = C 1 e - 2 t + C 2 t e - 2 t

Passo 3

Agora vamos descobrir o valor das constantes através do valor inicial dado. Temos que:

y - 1 = 2

y ' - 1 = 1

Assim:

y ( t ) = C 1 e - 2 t + C 2 t e - 2 t

y ' t = - 2 C 1 e - 2 t - 2 C 2 t e - 2 t + C 2 e - 2 t

Dessa forma:

y - 1 = C 1 e 2 - C 2 e 2 = 2

C 1 - C 2 e 2 = 2

C 1 - C 2 = 2 e - 2

E:

y ' - 1 = - 2 C 1 e 2 + 2 C 2 e 2 + C 2 e 2 = 1

( - 2 C 1 + 2 C 2 + C 2 ) e 2 = 1

- 2 C 1 + 3 C 2 = e - 2

Resolvendo o sistema:

C 1 - C 2 = 2 e - 2

- 2 C 1 + 3 C 2 = e - 2

C 1 = 5 e - 2

C 2 = 3 e - 2

Dessa forma, a solução geral fica:

y t = 5 e - 2 e - 2 t + 3 e - 2 t e - 2 t

Resposta

A solução geral é:

y t = 5 e - 2 e - 2 t + 3 e - 2 t e - 2 t

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