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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.1 - Ex. 32

  1. Esboce a curva y 3 = x ² .
  2. Use as Fórmulas 3 e 4 para escrever duas integrais para o comprimento do arco de ( 0,0 ) a ( 1,1 ) . Observe que uma delas é uma integral imprópria e calcule ambas as integrais.
  3. Ache o comprimento de arco dessa curva de ( - 1,1 ) a ( 8,4 ) .

Passo 1

  1. Esboço da curva:

    2. Passo 2

  2. y = x 2 3 → 1 + d y d x 2 = 1 + 2 3 x - 1 3 = 1 + 4 9 x - 2 3

    3. Então,

    L = ∫ 0 1 1 + 4 9 x - 2 3 d x   u m a   i n t e g r a l   i m p r ó p r i a

    x = y 3 2 → 1 + d x d y 2 = 1 + 3 2 y 1 2 2 = 1 + 9 4 y

    Então,

    L = ∫ 0 1 1 + 9 4 y d y

    A segunda integral é igual a 4 9 2 3 1 + 9 4 y 3 2 0 1 = 8 27 13 13 8 - 1 = 13 13 - 8 27

    O valor da segunda integral pode ser obtido da seguinte forma:

    ∫ 0 1 1 + 4 9 x - 2 3 d x = lim t → 0 + ⁡ ∫ t 1 9 x 2 3 + 4 3 x 1 3 d x

    Usando u = 9 x 2 3 e d u = 6 x - 1 3 d x temos

    = lim t → 0 + ⁡ ∫ 9 t 2 2 9 u + 4 18 d u = ∫ 0 9 u + 4 18 d u = 1 18 2 3 u + 4 3 2 0 9 = 1 27 13 3 2 - 4 3 2 = 13 13 - 8 27

    Passo 3

  3. L = comprimento do arco dessa curva para ( - 1,1 ) até ( 8,4 ) é

∫ 0 1 1 + 9 4 y   d y + ∫ 0 4 1 + 9 4 y   d y = 13 13 - 8 27 +     8 27 1 + 9 4 y 3 2 0 4 =

13 13 - 8 27 + 8 27 10 10 - 1 = 13 13 + 80 10 - 16 27    

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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