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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.11 - Ex. 56

Se x = ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ , mostre que sec ⁡ θ = cosh ⁡ x .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que sec ⁡ θ = cosh ⁡ x , sabendo que x = ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ .

Então, o que nós vamos fazer é substituir x = ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ em cosh ⁡ x e usar a definição do cosseno hiperbólico na forma:

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Para chegar a sec ⁡ θ .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar substituindo x = ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ em cosh ⁡ x :

cosh ⁡ x = cosh ⁡ ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ

Nós sabemos que cosh ⁡ x = e x + e - x 2 , então vamos substituir a equação de cima nessa definição:

cosh ⁡ x = e ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + e - ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ 2

cosh ⁡ x = e ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + 1 e ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ 2

Como logaritimo e exponencial são funções inversas, temos que e ln ⁡ x = x . Assim, nossa expressão fica:

cosh ⁡ x = sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + 1 sec ⁡ θ + tg ⁡ θ 2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Vamos multiplicar e dividir 1 sec ⁡ θ + tg ⁡ θ pelo conjugado de sec ⁡ θ + tg ⁡ θ , ou seja, sec ⁡ θ - tg ⁡ θ sec ⁡ θ - tg ⁡ θ .

cosh ⁡ x = sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + sec ⁡ θ - tg ⁡ θ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ sec ⁡ θ - tg ⁡ θ 2

Multiplicando os termos no denominador:

cosh ⁡ x = sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + sec ⁡ θ - tg ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - tg 2 ⁡ θ 2

Agora usando a identidade hiperbólica sec 2 ⁡ θ - tg 2 ⁡ θ = 1 , temos:

cosh ⁡ x = sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + sec ⁡ θ - tg ⁡ θ 1 2

cosh ⁡ x = sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + sec ⁡ θ - tg ⁡ θ 2

Somando os termos semelhantes:

cosh ⁡ x = 2  sec ⁡ θ 2

E simplificando, obtemos:

cosh ⁡ x = sec ⁡ θ

Pronto, chegamos onde queríamos:

O que achou? Responde Aí!

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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