Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.3 - Ex. 19
Esboce o gráfico do integrando e use áreas para calcular a integral
Passo 1
A integral da nossa questão será resolvida através da associação com a área entre a nossa curva e o eixo X. Precisamos então esclarecer alguns pontos para que possamos resolvê-la. Eles são: os limites do eixo X e qual o comportamento da nossa função neste intervalo.
Passo 2
Vamos começar por determinar o intervalo de análise. O intervalo será dado por , em que é o limite inferior da nossa integral e o limite superior. Desta forma, temos:
Passo 3
Vamos obter agora o gráfico da nossa função. Portanto, temos:
Em destaque temos a área da região que devemos calcular, à qual possui a forma de dois triângulos retângulos. Um do lado do eixo negativo e o outro do lado positivo.
Passo 4
A área de um triângulo é:
Em que é a base e a altura. Para o triângulo retângulo à esquerda do eixo Y, a base é o comprimento do intervalo , o qual é igual a 2, e a altura a interseção da função com a reta , logo,
Consequentemente, a sua área é:
Já o outro triângulo, possui base igual a 1 e altura também 1. Portanto,
Desta forma,
Logo,